2003-北京文-06 单-复数模最值

本题导读

本题考查复数模的最值，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 若 $z\in \mathbf{C}$ 且 $|z+2-2i|=1$，则 $|z-2-2i|$ 的最小值是()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|z+2-2i|=1$ 表示以 $(-2,2)$ 为圆心、半径 $1$ 的圆。
2. $|z-2-2i|$ 是圆上点到 $(2,2)$ 的距离，最小值为圆心距减半径。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=x+yi$（$x,y\in \mathbf{R}$），$|z+2-2i|=1$ 即 $(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=1$，表示以 $C(-2,2)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆。$|z-2-2i|$ 表示圆上点到点 $(2,2)$ 的距离，其最小值为圆心距 $|(2,2)-(-2,2)|=4$ 减去半径 $1$，即 $3$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模最值
2. 核心方法：$|z+2-2i|=1$ 表示以 $(-2,2)$ 为圆心、半径 $1$ 的圆；$|z-2-2i|$ 为圆上点到 $(2,2)$ 的距离，最小值为圆心距 $4$ 减半径 $1$，即 $3$
3. 避坑指南：复数模的几何意义化归为圆上点到定点距离

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材复数的几何意义
2. 结论推广: 一般地，复数模的条件对应复平面上的圆，模的最值用圆心距与半径表示；复数模的几何意义化归为距离问题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-02 单-复数模的轨迹
• 2008-广东文-02 单-复数模取值范围
• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围