2003-上海文-17 解-复数模最值

本题导读

本题考查复数的乘法与模。核心在于将模的平方化为三角函数式求最值。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 已知复数 $z_1=\cos \theta -i$，$z_2=\sin \theta +i$，求 $|z_1\cdot z_2|$ 的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $z_1{z}_2$ 的实部与虚部。
2. $|z_1{z}_2{|}^2$ 化为 $\sin \theta ,\cos \theta$ 的表达式求最值。

✅【答案】

Success

最大值为 $\frac{3}{2}$，最小值为 $\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$z_1{z}_2=(\cos \theta -i)(\sin \theta +i)=\cos \theta \sin \theta +1+(\cos \theta -\sin \theta )i$，故 $|z_1{z}_2{|}^2=(\sin \theta \cos \theta +1{)}^2+(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$.展开得 $(\sin \theta \cos \theta +1{)}^2+(1-2\sin \theta \cos \theta )={\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +1+1-2\sin \theta \cos \theta ={\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +2$.令 $t=\sin \theta \cos \theta \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$，则 $|z_1{z}_2{|}^2=t^2+2$，故最小值为 $2$（$t=0$），最大值为 $2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$（$t=\pm \frac{1}{2}$）．所以 $|z_1{z}_2|$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$，最小值为 $\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模最值
2. 核心方法：$z_1{z}_2=(\cos \theta -i)(\sin \theta +i)=(\cos \theta \sin \theta +1)+(\cos \theta -\sin \theta )i$，模最大 $\frac{3}{2}$、最小 $\sqrt{2}$
3. 避坑指南：复数模用 $\sqrt{{\text{实部}}^2+{\text{虚部}}^2}$ 化简为三角式求值域

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材复数的模
2. 结论推广: 一般地，复数模化三角函数后求值域；模的平方展开，用三角恒等式求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-17 解-复数模与范围
• 2003-北京文-06 单-复数模最值
• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围