2004-上海卷文-17 解-复数模与范围

本题导读

本题考查复数的四则运算与模。核心在于化简 $z_1$、写出共轭 ${\bar{z}}_2$，把模不等式平方化为实不等式。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 已知复数 $z_1$ 满足 $(1+i)z_1=-1+5i$，$z_2=a-2-i$，其中 $i$ 为虚数单位，$a\in \mathbf{R}$，若 $\left|z_1-{\bar{z}}_2\right|<\left|z_1\right|$（${\bar{z}}_2$ 为 $z_2$ 的共轭复数），求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z_1=\frac{-1+5i}{1+i}=2+3i$。
2. ${\bar{z}}_2=a-2+i$，$z_1-{\bar{z}}_2=(4-a)+2i$。
3. $(4-a{)}^2+4<13$，$(a-4{)}^2<9$，$1<a<7$。

✅【答案】

Success

$1<a<7$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(1+i)z_1=-1+5i$，得 $z_1=\frac{-1+5i}{1+i}=\frac{(-1+5i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{4+6i}{2}=2+3i$.又 $z_2=a-2-i$，所以 ${\bar{z}}_2=a-2+i$，从而 $z_1-{\bar{z}}_2=(2+3i)-(a-2+i)=(4-a)+2i$.因此 ${\left|z_1-{\bar{z}}_2\right|}^2=(4-a{)}^2+4$，而 ${\left|z_1\right|}^2=2^2+3^2=13$.题设不等式等价于 $(4-a{)}^2+4<13$，即 $(a-4{)}^2<9$，所以 $1<a<7$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模与范围
2. 核心方法：$z_1=\frac{-1+5i}{1+i}=2+3i$，${\bar{z}}_2=a-2+i$，$|z_1-{\bar{z}}_2{|}^2=(4-a{)}^2+4<13$，$(a-4{)}^2<9$，$1<a<7$
3. 避坑指南：先化简 $z_1$ 再写共轭 ${\bar{z}}_2$；模不等式平方化为实不等式 $(a-4{)}^2<9$，解 $1<a<7$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复数的四则运算与模，教材”复数”
2. 结论推广: 一般化：$|z_1-{\bar{z}}_2{|}^2$ 展开为实部差与虚部差的平方和；先化简 $z_1$、写共轭，再平方去模化为实不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2008-广东文-02 单-复数模取值范围
• 2004-北京卷文-02 单-复数模的轨迹