2002-上海卷文-01 填-复数的四则运算

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及由复数方程求复数。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 若 $z\in \mathbf{C}$，$(3+z)i=1$（$i$ 为虚数单位），则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两边除以 $i$ 得 $3+z=\frac{1}{i}$。
2. $\frac{1}{i}=-i$，得 $z=-3-i$。

✅【答案】

Success

$-3-i$

✍【详细解析】

Abstract

由 $(3+z)i=1$ 得 $3+z=\frac{1}{i}=-i$（因 $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=-i$），故 $z=-3-i$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算

核心方法：$(3+z)i=1$ 得 $3+z=\frac{1}{i}=-i$，故 $z=-3-i$

避坑指南：复数除法 $1÷i$ 等于 $-i$（因 $i^2=-1$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的四则运算

结论推广：一般地，复数方程按四则运算与 $i^2=-1$ 解出 $z$

方法推广：把含 $z$ 的项移项，除以虚数系数化实部虚部

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2002-北京卷文-07 单-复数的高次幂
• 2002-大纲文-02 单-复数三角形式求值