1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围

本题导读

本题考查复数相等的条件与辐角主值。核心在于由实根分离实虚部求出 $a,b$，再按 $c$ 分类讨论辐角范围。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 已知方程 $x^2+(4+i)x+4+ai=0$（$a\in \mathbf{R}$）有实根 $b$，且 $z=a+bi$，求复数 $\bar{z}(1-ci)$（$c>0$）的辐角主值的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 实根 $b$ 代入，实部虚部分别为零求 $a,b$。
2. 计算 $\bar{z}(1-ci)$ 的实虚部。
3. 按 $0<c⩽1$ 与 $c>1$ 分类求辐角主值范围。

✅【答案】

Success

$[0,\frac{\pi }{4})\cup (\frac{7\pi }{4},2\pi )$

✍【详细解析】

Abstract

设实根为 $b$，代入方程得 $b^2+(4+i)b+4+ai=0$，即 $\left(b^2+4b+4\right)+(b+a)i=0$。因为 $b$ 是实数，实部与虚部分别为零：$b^2+4b+4=0$，$b+a=0$，解得 $b=-2$，$a=2$。因此 $z=2-2i$，$\bar{z}=2+2i$。于是 $\bar{z}(1-ci)=(2+2i)(1-ci)=(2+2c)+(2-2c)i$。 当 $0<c⩽1$ 时，实部 $2+2c>0$，虚部 $2-2c⩾0$，辐角主值在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内，且 $\arg [\bar{z}(1-ci)]=\arctan \frac{2-2c}{2+2c}=\arctan \left(\frac{2}{1+c}-1\right)$。由 $0<c⩽1$ 得 $0⩽\frac{2}{1+c}-1<1$，故 $0⩽\arg [\bar{z}(1-ci)]<\frac{\pi }{4}$。 当 $c>1$ 时，实部 $2+2c>0$，虚部 $2-2c<0$，辐角主值在 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 内，且 $\arg [\bar{z}(1-ci)]=2\pi +\arctan \left(\frac{2}{1+c}-1\right)$。由 $c>1$ 得 $-1<\frac{2}{1+c}-1<0$，故 $-\frac{\pi }{4}<\arctan \left(\frac{2}{1+c}-1\right)<0$，从而 $\frac{7\pi }{4}<\arg [\bar{z}(1-ci)]<2\pi$。 综上，所求辐角主值的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{7\pi }{4},2\pi \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数辐角主值的范围

核心方法：实部 $b^2+4b+4=0$、虚部 $b+a=0$ 得 $b=-2,a=2$，$\bar{z}(1-ci)=(2+2c)+(2-2c)i$，$0<c\le 1$ 时 $\arg \in [0,\frac{\pi }{4})$，$c>1$ 时 $\arg \in (\frac{7\pi }{4},2\pi )$

避坑指南：实虚部分离定参数 + 分类求辐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的辐角

结论推广：一般地，实部虚部分离后按象限分类写辐角范围

方法推广：分类求辐角主值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-21 解-复数辐角与三角最值
• 2001-大纲文-05 单-复数的辐角
• 2000-上海文-22 解-复数共轭乘法变换