1998-全国卷文-20 解-含参二次不等式的解法

本题导读

本题考查含参二次不等式的解法。核心在于移项配方化为二次式后定符号。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 设 $a\ne b$，解关于 $x$ 的不等式：$a^{2}x+b^2(1-x)⩾{\left[ax+b(1-x)\right]}^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将右边移到左边并整理。
2. 配方化为 $(a-b{)}^{2}x(1-x)⩾0$ 后解出 $x$ 的范围。

✅【答案】

Success

$[0,1]$

✍【详细解析】

Abstract

将不等式右边移到左边并整理，得 $a^{2}x+b^2(1-x)-{\left[ax+b(1-x)\right]}^2=(a-b{)}^{2}x(1-x)⩾0$。因为 $a\ne b$，所以 $(a-b{)}^2>0$，原不等式等价于 $x(1-x)⩾0$。这个二次式的两个零点为 $0$ 和 $1$，且在两零点之间取非负值，因此解集为 $x\in [0,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参二次不等式的解法

核心方法：移项得 $a^{2}x+b^2(1-x)-[ax+b(1-x){]}^2=(a-b{)}^{2}x(1-x)\ge 0$，因 $a\ne b$ 等价于 $x(1-x)\ge 0$，解集 $[0,1]$

避坑指南：配方化为二次式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材一元二次不等式

结论推广：一般地，配方或分解因式定二次式的符号

方法推广：配方化为二次式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2000-大纲文-20 解-含参无理不等式的解集
• 1999-上海文-17 解-集合包含与分式不等式
• 2000-上海文-21 解-等比点列与不等式