2000-上海文-21 解-等比点列与不等式

本题导读

本题考查等比点列与不等式。核心在于由等腰条件定横标，由三角形存在条件得公比不等式，再由单调性定求和最值项。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 在 $xOy$ 平面上有一点列 $P_1(a_1,b_1)$，$P_2(a_2,b_2)$，$\cdots$，$P_n(a_n,b_n)$，$\cdots$，对每个自然数 $n$，点 $P_n$ 位于函数 $y=2000{\left(\frac{a}{10}\right)}^x$（$0<a<10$）的图象上，且点 $P_n$，点 $(n,0)$ 与点 $(n+1,0)$ 构成一个以 $P_n$ 为顶点的等腰三角形．

(1) 求点 $P_n$ 的纵坐标 $b_n$ 的表达式；

(2) 若对每个自然数 $n$，以 $b_n$，$b_{n+1}$，$b_{n+2}$ 为边长能构成一个三角形，求 $a$ 取值范围；

(3) 设 $c_n=\lg (b_n)$（$n\in \mathbf{N}$），若 $a$ 取 (2) 中确定的范围内的最小整数，问数列 $\{c_n\}$ 前多少项的和最大？试说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 等腰 $⟹$ $P_n$ 到 $(n,0)$、$(n+1,0)$ 距离相等，得 $a_n=n+\frac{1}{2}$。
2. (2) $b_n$ 递减，充要条件 $b_{n+1}+b_{n+2}>b_n$，即 $q+q^2>1$。
3. (3) $a=7$，$c_n$ 递减，看 $\lg b_n$ 的正负分界。

✅【答案】

Success

(1) $b_n=2000{\left(\frac{a}{10}\right)}^{n+\frac{1}{2}}$；(2) $a\in \left(5(\sqrt{5}-1),10\right)$；(3) 前 $20$ 项的和最大

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $P_n$、$(n,0)$、$(n+1,0)$ 构成以 $P_n$ 为顶点的等腰三角形，得 $P_n$ 到 $(n,0)$ 与 $(n+1,0)$ 的距离相等，即 $(a_n-n{)}^2+b_n^2=(a_n-n-1{)}^2+b_n^2$，展开得 $a_n=n+\frac{1}{2}$．又 $P_n$ 在 $y=2000{\left(\frac{a}{10}\right)}^x$ 图象上，故 $b_n=2000{\left(\frac{a}{10}\right)}^{n+\frac{1}{2}}$． (2) 记 $q=\frac{a}{10}$，则 $0<q<1$，$b_n>0$ 且 $b_{n+1}=q{b}_n<b_n$，即 $b_{n+2}<b_{n+1}<b_n$．三数构成三角形的充要条件是 $b_{n+1}+b_{n+2}>b_n$，即 $q+q^2>1$，解得 $q>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故 $a>5(\sqrt{5}-1)$．结合 $0<a<10$，$a$ 的取值范围为 $\left(5(\sqrt{5}-1),10\right)$． (3) 由 $5(\sqrt{5}-1)\approx 6.18$ 知范围内最小整数为 $a=7$，此时 $q=0.7$，$c_n=\lg b_n=\lg 2000+\left(n+\frac{1}{2}\right)\lg 0.7$．因为 $\lg 0.7<0$，$\{c_n\}$ 严格递减．直接计算 $b_{20}=2000\times 0.7^{20.5}\approx 1.33>1$，$b_{21}=2000\times 0.7^{21.5}\approx 0.93<1$，故 $c_{20}>0$，$c_{21}<0$．于是 $S_N=c_1+\cdots +c_N$ 随 $N$ 增大到 $20$ 而增大，再加入 $c_{21}<0$ 后开始减小，所以数列 $\{c_n\}$ 前 $20$ 项的和最大．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比点列与不等式

核心方法：(1) $a_n=n+\frac{1}{2}$，$b_n=2000{\left(\frac{a}{10}\right)}^{n+\frac{1}{2}}$；；(2) $b_{n+1}+b_{n+2}>b_n⟺q+q^2>1⟺a>5(\sqrt{5}-1)$；；(3) $a=7$，$c_n=\lg 2000+\left(n+\frac{1}{2}\right)\lg 0.7$ 递减，$b_{20}>1>b_{21}$，前 $20$ 项和最大

避坑指南：等腰定横标；最长边条件；单调数列定最值项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列与不等式

结论推广：一般地，递减正项数列构成三角形的充要条件是最长边小于其余两边之和

方法推广：公比不等式 + 单调性

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-19 解-无穷等比数列与数列极限
• 2004-湖南文-20 解-等比数列与错位求和

专题合集 (Series)