1997-全国卷理-01 单-集合的交集与一元二次不等式

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 设集合 $M=\{x\mid 0\le x<2\}$，集合 $N=\{x\mid x^2-2x-3<0\}$，集合 $M\cap N=$ ()

A. $\{x\mid 0\le x<1\}$　B. $\{x\mid 0\le x<2\}$　C. $\{x\mid 0\le x\le 1\}$　D. $\{x\mid 0\le x\le 2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

化简集合 $N$：对一元二次不等式 $x^2-2x-3<0$ 进行因式分解，求出其解集。 求交集 $M\cap N$：将集合 $M$ 和化简后的集合 $N$ 表示在数轴上，找出重叠区域。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

化简集合 $N$ 对不等式 $x^2-2x-3<0$ 的左边进行因式分解： $(x-3)(x+1)<0$ 解得： $-1<x<3$ 所以，集合 $N=\{x\mid -1<x<3\}$。

求 $M\cap N$ 已知 $M=\{x\mid 0\le x<2\}$。 将集合 $M$ 与 $N$ 的范围求交集： $\{\begin{array}{l}0\le x<2\\ -1<x<3\end{array}⟹0\le x<2$ 因此，$M\cap N=\{x\mid 0\le x<2\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次不等式的标准解法；交集的概念。 核心方法：利用数轴直观观察区间交叠部分。 避坑指南：注意区间端点处的开闭状态（有无等号），避免在选择时混淆开闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于基础集合运算题，取材于高中数学教材“集合与简易逻辑”章节的课后基础练习题。 结论推广：对于区间集合 $M=[a,b)$ 与二次不等式集合 $N=(c,d)$，其交集运算的核心是确定各边界点 $\max (a,c)$ 和 $\min (b,d)$ 的大小关系以及端点的包含情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-20 解-含参二次不等式的解法
• 1999-上海文-17 解-集合包含与分式不等式
• 2000-大纲文-01 单-集合并集的元素个数