1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及由焦点与长轴定椭圆方程。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 以直角坐标系的原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标分别是 $\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$、$\left(1,\frac{3\pi }{2}\right)$，长轴长是 $4$，则此椭圆的直角坐标方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把两焦点的极坐标化为直角坐标。
2. 由焦半距与长轴定 $a,b$，写出方程。

✅【答案】

Success

$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

焦点 $\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$、$\left(1,\frac{3\pi }{2}\right)$ 的直角坐标分别为 $(0,1)$、$(0,-1)$，故椭圆中心在原点、焦点在 $y$ 轴上，焦半距 $c=1$。长轴长 $2a=4$，故 $a=2$，从而 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$。因此椭圆的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与椭圆方程

核心方法：两焦点极坐标 $(1,\frac{\pi }{2}),(1,\frac{3\pi }{2})$ 即直角坐标 $(0,\pm 1)$，故 $c=1$；长轴 $2a=4$，$a=2$，$b^2=3$，椭圆方程 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

避坑指南：极坐标化直角坐标定 c

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材极坐标与椭圆

结论推广：一般地，极坐标 $(r,\theta )$ 化直角 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$

方法推广：极坐标化直角定 c

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-09 填-极坐标方程的焦点
• 2007-新课标Ⅰ文-23 解-极坐标方程化直角坐标
• 2008-广东文-14 填-极坐标曲线交点