1994-全国卷理-03 单-极坐标方程与直角坐标方程的互化

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程。

📌【题干】

Question

（1994年全国卷(理)） 极坐标方程 $\rho =\cos \left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)$ 所表示的曲线是 ()

A. 双曲线　　　　　B. 椭圆　　　　　C. 抛物线　　　　　D. 圆

🔍【思路分析】

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展开化简：利用余弦的两角差公式将方程右侧的 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)$ 展开。 坐标互化：方程两边同乘以 $\rho$，变形为包含 ${\rho }^2$、$\rho \cos \theta$、$\rho \sin \theta$ 的形式，再利用转换公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$x^2+y^2={\rho }^2$ 转化为直角坐标方程。 识别图形：根据转化后的直角坐标方程形式判定曲线类型。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一：坐标转换法 利用余弦的两角差公式，原方程可化为： $\rho =\cos \frac{\pi }{4}\cos \theta +\sin \frac{\pi }{4}\sin \theta$ $\rho =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta$

方程两边同乘以 $\rho$，得： ${\rho }^2=\frac{\sqrt{2}}{2}\rho \cos \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\rho \sin \theta$

将直角坐标与极坐标的转换公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$，$\rho \sin \theta =y$ 代入上式，得： $x^2+y^2=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y$ 移项配方得： ${\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2+{\left(y-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2=\frac{1}{4}$

由此可知，该方程表示一个以 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ 为圆心，$\frac{1}{2}$ 为半径的圆。

解法二：极坐标标准方程判定法 因为 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)=\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$。 根据圆的极坐标标准方程可知，形如 $\rho =2r\cos (\theta -{\theta }_0)$ 的方程均表示一个通过极点、圆心极坐标为 $(r,{\theta }_0)$、直径为 $2r$ 的圆。 对比原方程 $\rho =1\cdot \cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$，可直接判定其图形为圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标的转换基本公式。 核心方法：遇到含有 $\cos \theta$ 或 $\sin \theta$ 且次数为一次的极坐标方程，通常采用两边同乘 $\rho$ 的技巧，构造出 $\rho \cos \theta$ 与 $\rho \sin \theta$ 以便整体代换。 避坑指南：展开三角函数时，注意两角差的余弦公式中间是“加号”（$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$），谨防符号弄错导致计算变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题出自高中数学选修系列中“极坐标与参数方程”的基础题型，通过基础的坐标互化，训练学生的代数变形与几何直觉。 结论推广：方程 $\rho =a\cos \theta +b\sin \theta$（$a,b$ 不同时为 $0$）在直角坐标系下对应的方程为 $x^2+y^2-ax-by=0$。通过配方可知，它恒表示一个经过原点（极点），圆心为 $\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$，半径为 $\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ 的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-11 单-极坐标与直角坐标的互化
• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标