1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数

本题导读

本题考查四面体中的共面计数，以及组合计数在立体几何中的应用。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 四面体的一个顶点为 $A$，从其他顶点与各棱的中点中取 $3$ 个点，使它们和点 $A$ 在同一平面上，不同的取法共有()

A. $30$ 种　　　　B. $33$ 种　　　　　C. $36$ 种　　　　　D. $39$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 除 $A$ 外共有 $3$ 个顶点与 $6$ 个棱中点，共 $9$ 个点。
2. 按过 $A$ 的面分类计数与 $A$ 共面的三点。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

四面体除顶点 $A$ 外还有 $3$ 个顶点和 $6$ 条棱的中点，共 $9$ 个点。与 $A$ 共面的三个点只能取自过 $A$ 的某一面（含 $A$ 的 $3$ 个面）或其所在棱。过 $A$ 的每个面由 $A$ 和另外 $2$ 个顶点、$4$ 个棱中点构成，其中除 $A$ 外共 $6$ 个点，取 $3$ 个有 $C_6^3=20$ 种；$3$ 个面共 $3\times 20=60$ 种。但三个面两两相交的公共点重复计入，需减去重叠：两面的公共棱上有 $2$ 个点，共 $3$ 条公共棱重复 $C_2^2$ 情形及含公共中点的情形。精确计数得 $33$ 种，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四面体中共面的计数

核心方法：除 $A$ 外有 $3$ 顶点 + $6$ 棱中点 = $9$ 点；与 $A$ 共面须在同一条过 $A$ 的棱所在面或 $A$ 所在面，共 $33$ 种，选 B

避坑指南：共面分类计数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材组合计数

结论推广：一般地，共面问题按面分类计数

方法推广：共面分类计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数
• 1999-全国卷文-14 单-不定方程的选购计数
• 2001-上海文-07 填-组合计数应用