1999-全国卷文-14 单-不定方程的选购计数

本题导读

本题考查不定方程约束下的计数，以及固定一变量枚举另一变量的方法。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 某电脑用户计划使用不超过 $500$ 元的资金购买单价分别为 $60$ 元、$70$ 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 $3$ 片，磁盘至少买 $2$ 盒，则不同的选购方式共有()

A. $5$ 种　　　　　B. $6$ 种　　　　　C. $7$ 种　　　　　D. $8$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设买软件 $x$ 片、磁盘 $y$ 盒，列约束 $60x+70y\le 500$，$x\ge 3$，$y\ge 2$。
2. 固定 $x$ 逐一枚举 $y$ 的取值个数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设购买软件 $x$ 片、磁盘 $y$ 盒，则 $x,y\in \mathbf{Z}$，$x\ge 3$，$y\ge 2$，$60x+70y\le 500$。固定 $x$ 计数：当 $x=3$ 时，$140\le 70y\le 320$，$y=2,3,4$，有 $3$ 种；当 $x=4$ 时，$140\le 70y\le 260$，$y=2,3$，有 $2$ 种；当 $x=5$ 时，$y=2$，有 $1$ 种；当 $x=6$ 时，$y=2$，有 $1$ 种；当 $x\ge 7$ 时，即使 $y=2$ 也超过 $500$ 元。所以共有 $3+2+1+1=7$ 种，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不定方程的选购计数

核心方法：$60x+70y\le 500$ 且 $x\ge 3,y\ge 2$，$x=3$ 有 $3$ 种、$x=4$ 有 $2$ 种、$x=5$ 有 $1$ 种、$x=6$ 有 $1$ 种，共 $7$ 种，选 C

避坑指南：固定 x 枚举 y

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材排列组合的应用

结论推广：一般地，不定方程整数解固定一变量枚举

方法推广：固定 x 枚举 y

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-09 单-球赛计分计数
• 2001-新课标理-09 单-不定方程整数解计数
• 2000-大纲文-13 填-受限排列的计数