2000-大纲文-13 填-受限排列的计数

本题导读

本题考查排列组合的分步计数，以及特殊位置的安排。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 乒乓球队的 $10$ 名队员中有 $3$ 名主力队员，派 $5$ 名参加比赛，$3$ 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 $7$ 名队员选 $2$ 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有　　　种（用数字作答）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $3$ 名主力排在第一、三、五位置，有 $A_3^3$ 种。
2. 其余 $7$ 人选 $2$ 排第二、四位置，有 $A_7^2$ 种。

✅【答案】

Success

$252$

✍【详细解析】

Abstract

第一、三、五这三个位置必须由 $3$ 名主力队员担任，$3$ 名主力排这 $3$ 个位置有 $A_3^3=6$ 种排法；第二、四位置由其余 $7$ 名队员中选 $2$ 名担任，有 $A_7^2=7\times 6=42$ 种排法．由分步计数原理，不同的出场安排共有 $A_3^3\cdot A_7^2=6\times 42=252$ 种．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：受限排列的计数

核心方法：$3$ 名主力排在 $1,3,5$ 位有 $A_3^3$ 种，其余 $7$ 人取 $2$ 排 $2,4$ 位有 $A_7^2$ 种，共 $A_3^3{A}_7^2=6\times 42=252$

避坑指南：分步计数：主力定奇数位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材排列组合

结论推广：一般地，分步计数用乘法原理

方法推广：分步计数定安排数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-10 单-分步计数与限制排列
• 2006-天津文-16 填-排列相邻计数
• 2006-上海春-07 填-首尾受限排列

专题合集 (Series)