1993-旧高考文-17 单-错排计数

本题导读

本题考查错排计数，以及容斥原理的应用。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 ()

A. 6种　　　　　　B. 9种　　　　　　C. 11种　　　　　　D. 23种

🔍【思路分析】

破题导航

四元素全错排 $D_4=9$，容斥或递推皆可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

要求每人不拿自己写的卡，即四元素错排数。用容斥原理：$D_4=4!-C_4^{1}3!+C_4^{2}2!-C_4^{3}1!+C_4^{4}0!=24-24+12-4+1=9$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：错排计数

核心方法：四元素错排数 $D_4=4!(1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24})=9$

避坑指南：容斥原理或错排递推 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ 皆可

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于排列组合经典错排模型

结论推广：$D_4=9$；错排数满足 $D_n=n{D}_{n-1}+(-1{)}^n$

方法推广：全错位计数用容斥原理或递推公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.05 错位问题

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-11 单-错排计数
• 2000-大纲文-13 填-受限排列的计数
• 1996-全国卷文-05 单-相邻元素的排列计数