1996-全国卷理-09 单-空间折叠问题

本题导读

本题考查空间折叠问题，以及三棱锥的体积计算。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 将边长为 $a$ 的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起，使得 $BD=a$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积为 ()

A. $\frac{a^3}{6}$　　　　　B. $\frac{a^3}{12}$　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^3$　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

🔍【思路分析】

破题导航

分析折叠前的平面性质：正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，对角线 $AC\perp BD$，设交点为 $O$。易求 $AO=CO=BO=DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。 理清折叠后的空间结构：沿 $AC$ 折起后，$△ABC$ 和 $△ADC$ 的形状和大小不变。在空间中依然有 $BO\perp AC$ 且 $DO\perp AC$，因此 $\angle BOD$ 即为二面角 $B-AC-D$ 的平面角。 求高与底面积：

• 以 $△ABC$ 为三棱锥的底面，其面积易求。
• 此时过顶点 $D$ 作底面 $ABC$ 的垂线，垂足必落在 $BO$ 所在的直线上。在 $△BOD$ 中已知三边 $BO,DO,BD$，利用勾股定理逆定理或余弦定理判定其形状，进而确定三棱锥的高。 代入体积公式：由 $V=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times h$ 算得结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

分析折叠前后的不变性 设正方形对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。 在平面图形中，因为 $ABCD$ 是边长为 $a$ 的正方形，所以： $AC=\sqrt{2}a,BD=\sqrt{2}a$ $BO=DO=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}a,AC\perp BD$

沿对角线 $AC$ 折起后，在三棱锥 $D-ABC$ 中，依然保持 $BO\perp AC$ 且 $DO\perp AC$。

判定 $△BOD$ 的形状并求三棱锥的高 根据题意，折起后满足 $BD=a$。 在空间 $△BOD$ 中，其三边长分别为： $BO=\frac{\sqrt{2}}{2}a,DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a,BD=a$ 由此计算三边的平方关系： $B{O}^2+D{O}^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2=\frac{2}{4}{a}^2+\frac{2}{4}{a}^2=a^2$ $B{D}^2=a^2$ 因为 $B{O}^2+D{O}^2=B{D}^2$，根据勾股定理逆定理可知： $△BOD\text{ 是以 }\angle BOD\text{ 为直角的等腰直角三角形，即 }DO\perp BO$

又因为已知 $DO\perp AC$，且 $AC\cap BO=O$， 根据线面垂直的判定定理，直线 $DO$ 垂直于平面 $ABC$ 内的两条相交直线，所以： $DO\perp \text{ 平面 }ABC$ 因此，直线 $DO$ 恰好就是三棱锥 $D-ABC$ 以面 $ABC$ 为底面时的高 $h$，即： $h=DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$

计算底面积与体积 底面 $△ABC$ 是直角三角形（或利用对角线垂直计算）： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AC\times BO=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}a\times \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{1}{2}{a}^2$

代入三棱锥体积公式： $V_{D-ABC}=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times h=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}{a}^2\times \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面图形折叠为空间图形时垂直关系的保持与转化；线面垂直的判定；几何体体积公式。 核心方法：“折叠特征分析法”。处理折叠问题时，必须严格区分“哪些量变了”（如 $BD$ 距离、面面夹角），“哪些量没变”（如单侧面内的线段长、单侧面内的垂直关系）。 避坑指南：

• 高位置盲目猜测陷阱：很多学生习惯性认为垂足落在 $△ABC$ 的重心或内部，强行去解未知射影，导致计算极其繁琐。本题中由于 $\angle BOD=90^{\circ }$ 这一特殊性，高恰好落在斜棱 $DO$ 上。
• 分数乘法（$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{12}$）时易因粗心算成 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ 从而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于立体几何经典的空间折叠模型。源于教材中“平面图形的翻折问题”标准探究课题，重点考查二维向三维转化时的空间逻辑构建。 结论推广： 将本题一般化：把对角线相互垂直且相交于 $O$ 的四边形沿一轴折起。 若折起后，轴两侧对应的中线 $l_1,l_2$ 满足 $l_1^2+l_2^2=d^2$（$d$ 为折起后的顶点距离），则折后图形的高必然等于其中一条中线的长度。 对于本题这类等面四面体变式，其四个面的三边长均为 $a,a,\sqrt{2}a$，其体积除了常规作高法外，亦可直接补形为边长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ 的正方体，通过“正方体体积减去四个等体积角锥”直接秒杀： $V={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^3-4\times \left[\frac{1}{6}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^3\right]=\frac{1}{3}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^3=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-09 单-棱台中截面面积的运算
• 1999-全国卷文-10 单-多面体体积的分割
• 1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数