1997-全国卷文-09 单-直线平分圆时斜率的范围

本题导读

本题考查直线平分圆的条件，以及由不过第四象限限制斜率范围。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 如果直线 $l$ 将圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$ 平分，且不通过第四象限，那么 $l$ 的斜率的取值范围是()

A. $[0,2]$　　　　B. $[0,1]$　　　　C. $\left[0,\frac{1}{2}\right]$　　　　　D. $\left[0,\frac{1}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平分圆的直线必过圆心。
2. 由不过第四象限限制斜率。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-2x-4y=0$ 化为 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=5$，圆心为 $(1,2)$。直线 $l$ 将圆平分，必过圆心 $(1,2)$。设 $l$ 斜率为 $k$，方程为 $y-2=k(x-1)$，即 $y=kx+2-k$。不过第四象限要求直线在 $x\ge 0$、$y\ge 0$ 一侧，由 $2-k\ge 0$ 得 $k\le 2$，又不过第四象限需 $k\ge 0$（否则在右下方穿过第四象限）。故 $0\le k\le 2$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线平分圆时斜率的范围

核心方法：直线过圆心 $(1,2)$ 且不过第四象限，斜率 $k\in [0,\frac{2-0}{1-0}]=[0,2]$，选 A

避坑指南：过圆心且限象限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与圆的位置关系

结论推广：一般地，平分圆的直线必过圆心

方法推广：过圆心限象限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-03 单-直线与圆相切的条件
• 2002-大纲文-01 单-直线与圆相切求参数
• 2005-浙江卷文-09 单-直线与二次曲线相切求参数