1995-全国卷理-05 单-直线倾斜角与斜率的大小比较

本题导读

本题考查直线斜率的定义与几何意义，以及直线倾斜角与斜率的关系。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 如图，若图中的直线 $l_1,l_2,l_3$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$，则 ()

A. $k_1<k_2<k_3$　　　　　　　　　　　　　　　B. $k_3<k_1<k_2$ C. $k_3<k_2<k_1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $k_1<k_3<k_2$

🔍【思路分析】

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分类判定符号（宏观定性）：

• 直线 $l_1$ 从左上方向右下方倾斜，其倾斜角为钝角，因此斜率 $k_1<0$。
• 直线 $l_2,l_3$ 均从左下方向右上方倾斜，它们的倾斜角均为锐角，因此斜率 $k_2>0,k_3>0$。
• 由此可直接确定最小的斜率为 $k_1$。 比较正斜率大小（微观定量）：
• 对于斜率为正的直线，直线越“陡峭”，对应的倾斜角越大，斜率（正切值）就越大。
• 观察图象可知，直线 $l_2$ 比直线 $l_3$ 更陡峭，因此 $k_2>k_3$。 综合排序：将上述结论组合，得到 $k_1<k_3<k_2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 设直线 $l_1,l_2,l_3$ 的倾斜角分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$。

1. 分析 $l_1$ 的斜率 $k_1$： 观察图象，直线 $l_1$ 随 $x$ 的增大而减小（减函数趋势），其倾斜角 ${\alpha }_1$ 为钝角（$\frac{\pi }{2}<{\alpha }_1<\pi$）。 根据斜率定义 $k=\tan \alpha$，在第二象限正切值为负，所以： $k_1=\tan {\alpha }_1<0$

2. 分析 $l_2,l_3$ 的斜率 $k_2,k_3$： 观察图象，直线 $l_2,l_3$ 均随 $x$ 的增大而增大（增函数趋势），其倾斜角 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 均为锐角（$0<{\alpha }_3<{\alpha }_2<\frac{\pi }{2}$）。 在第一象限内，正切值恒为正，所以： $k_2>0,k_3>0$

3. 比较 $k_2$ 与 $k_3$ 的大小： 由于 $y=\tan \alpha$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上是严格单调递增函数。 由图象直观可见，直线 $l_2$ 的倾斜程度（坡度）明显比 $l_3$ 更陡，即倾斜角满足关系： ${\alpha }_2>{\alpha }_3$ 从而有： $\tan {\alpha }_2>\tan {\alpha }_3⟹k_2>k_3$

综合以上三条性质，三个斜率的大小关系为： $k_1<k_3<k_2$

观察选项，D 选项符合该大小关系。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的斜率 $k=\tan \alpha$；当 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$k>0$ 且随 $\alpha$ 的增大而增大；当 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时，$k<0$。
2. 核心方法：
   • 逆时针旋转判定法：将 $x$ 轴正半轴绕交点逆时针旋转到与直线重合时所转过的角即为倾斜角。锐角对应正斜率，角越大线越陡，斜率值越大；钝角对应负斜率。
3. 避坑指南：容易盲目记忆“倾斜角越大斜率越大”而混淆负斜率。需注意，当倾斜角跨越 $90^{\circ }$（垂直状态，斜率不存在）时，斜率会发生正负突变。因此比较大小时，必须优先把负斜率归为最小，再单独比较正斜率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高一解析几何“直线的倾斜角与斜率”章节的经典图象辨析题，用于检验学生对斜率代数大小与几何直观坡度之间映射关系的掌握情况。
2. 结论推广：若将直线绕复平面或直角坐标系中的某点按逆时针方向旋转，其斜率 $k$ 的动态变化规律为： 从水平状态（$k=0$）开始旋转，斜率 $k$ 逐渐增大为正无穷（垂直状态，斜率不存在）；跨越垂直状态后，斜率突变为负无穷，继续逆时针旋转，斜率负值绝对值变小（即 $k$ 值逐渐增大），直至再次回到水平状态（$k=0$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-03 单-直线的倾斜角
• 1997-全国卷文-09 单-直线平分圆时斜率的范围
• 1997-上海文-05 单-直线的平移与斜率