1997-上海理-10 填-圆的弦中点与直线方程

本题导读

本题考查圆的弦中点与直线方程，以及垂径定理的运用。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 设圆 $x^2+y^2-4x-5=0$ 的弦 $AB$ 的中点为 $P(3,1)$，则直线 $AB$ 的方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求圆心坐标。
2. 由圆心与弦中点连线垂直弦，求弦斜率与方程。

✅【答案】

Success

$x+y-4=0$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-4x-5=0$ 即 $(x-2{)}^2+y^2=9$，圆心 $C(2,0)$。因弦 $AB$ 中点 $P(3,1)$，故 $CP\perp AB$，而 $k_{CP}=\frac{1-0}{3-2}=1$，所以 $k_{AB}=-1$。直线 $AB$ 过 $P(3,1)$ 且斜率为 $-1$，方程为 $y-1=-(x-3)$，即 $x+y-4=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦中点与直线方程

核心方法：圆 $(x-2{)}^2+y^2=9$，圆心 $C(2,0)$，弦 $AB$ 中点 $P(3,1)$，$CP$ 斜率 $\frac{1-0}{3-2}=1$，故 $AB$ 斜率 $-1$，直线 $y-1=-(x-3)$ 即 $x+y-4=0$

避坑指南：垂径定理求弦方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆与直线

结论推广：一般地，垂径定理：弦中点与圆心连线垂直弦

方法推广：垂径定理求弦方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-25 解-由条件求圆的方程
• 1997-全国卷文-09 单-直线平分圆时斜率的范围
• 1998-上海理-16 单-直线的位置关系