1996-全国卷文-21 解-等比数列公比的求法

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和。核心在于按公比是否为 $1$ 分类讨论，列方程求公比。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.若 $S_3+S_6=2S_9$，求数列的公比 $q$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先讨论 $q=1$ 是否可能。
2. $q\ne 1$ 时用前 $n$ 项和公式代入，解关于 $q$ 的方程。

✅【答案】

Success

$q=-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列公比的定义，$q\ne 0$。若 $q=1$，则 $S_3=3a_1$、$S_6=6a_1$、$S_9=9a_1$，代入 $S_3+S_6=2S_9$ 得 $9a_1=18a_1$，与 $a_1\ne 0$ 矛盾，故 $q\ne 1$。 当 $q\ne 1$ 时，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。代入题设：$\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}+\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=2\cdot \frac{a_1(1-q^9)}{1-q}$，约去非零因子 $\frac{a_1}{1-q}$，得 $(1-q^3)+(1-q^6)=2(1-q^9)$，即 $q^3+q^6=2q^9$，$q^3(2q^6-q^3-1)=0$。因 $q\ne 0$，故 $2q^6-q^3-1=0$，即 $(2q^3+1)(q^3-1)=0$。又 $q\ne 1$，故 $q^3=-\frac{1}{2}$，得 $q=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列公比的求法

核心方法：$q=1$ 时 $9a_1=18a_1$ 矛盾；$q\ne 1$ 时 $\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}+\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=2\frac{a_1(1-q^9)}{1-q}$，得 $q^3(2q^6-q^3-1)=0$，即 $q^3=-\frac{1}{2}$，$q=-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

避坑指南：列和式方程解公比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列前 n 项和

结论推广：一般地，公比是否为 1 分类讨论

方法推广：分公比列方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-15 单-等比数列公比与极限
• 1999-上海文-18 解-等比数列对数和的极限
• 1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项