1996-上海理-13 填-极坐标方程圆的圆心距

本题导读

本题考查极坐标方程与圆的圆心距，以及极坐标化直角坐标。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(理)） 极坐标方程分别是 $\rho =\cos \theta$ 和 $\rho =\sin \theta$ 的两个圆的圆心距是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把两个极坐标方程化为直角坐标方程。
2. 求圆心坐标，计算圆心距。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$\rho =\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=\rho \cos \theta$，即 $x^2+y^2=x$，化为 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$，圆心 $\left(\frac{1}{2},0\right)$。$\rho =\sin \theta$ 得 $x^2+y^2=y$，化为 $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$，圆心 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$。两圆心距为 $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程圆的圆心距

核心方法：$\rho =\cos \theta$ 即圆 $(x-\frac{1}{2}{)}^2+y^2=\frac{1}{4}$，圆心 $(\frac{1}{2},0)$；$\rho =\sin \theta$ 即圆 $x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$，圆心 $(0,\frac{1}{2})$。圆心距 $\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：极坐标化直角坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材极坐标方程

结论推广：一般地，极坐标化直角坐标求圆心

方法推广：极坐标化直角坐标

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-09 填-极坐标方程的焦点
• 1998-上海理-06 填-极坐标与椭圆方程
• 1997-全国卷文-25 解-由条件求圆的方程