1995-全国卷文-09 单-同角平方关系与倍角公式求值

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式的逆用与象限符号判断。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 已知 $\theta$ 是第三象限角，且 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =\frac{5}{9}$，那么 $\sin 2\theta$ 等于 ()

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　B.$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ C.$\frac{2}{3}$　　D.$-\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用 ${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =1-\frac{{\sin }^{2}2\theta }{2}$ 求 ${\sin }^{2}2\theta$。
2. 由第三象限定 $\sin 2\theta$ 的符号。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta {)}^2-2{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =1-\frac{{\sin }^{2}2\theta }{2}=\frac{5}{9}$，得 ${\sin }^{2}2\theta =\frac{8}{9}$，故 $|\sin 2\theta |=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。$\theta$ 为第三象限角时 $\sin \theta <0$，$\cos \theta <0$，故 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta >0$，取正值 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角平方关系与倍角公式求值

核心方法：$1-\frac{{\sin }^{2}2\theta }{2}=\frac{5}{9}$ 得 $|\sin 2\theta |=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；第三象限 $\sin \theta \cos \theta >0$ 取正，选 A

避坑指南：降次配方后按象限定号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材同角平方关系

结论推广：一般地，${\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta =1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2\theta$ 是常用降次恒等式

方法推广：降次配方

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-06 单-半角正切的求值
• 1997-全国卷文-10 单-余弦的二次函数最值
• 1996-上海文-19 解-二倍角公式求值