1995-上海理-25 解-二次函数与圆的递推关系

本题导读

本题考查二次函数解析式、数列递推与圆的综合。核心在于由最小值与定点定解析式，由圆相切建立递推求公比，再求和。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(理)） 已知二次函数 $y=f(x)$ 在 $x=\frac{t+2}{2}$ 处取得最小值 $-\frac{t^2}{4}$（$t>0$），$f(1)=0$.

(1)求 $y=f(x)$ 的表达式；

(2)若任意实数 $x$ 都满足等式 $f(x)g(x)+a_{n}x+b_n=x^{n+1}$（$g(x)$ 为多项式，$n\in \mathbf{N}$），试用 $t$ 表示 $a_n$ 和 $b_n$；

(3)设圆 $C_n$ 的方程为 $(x-a_n{)}^2+(y-b_n{)}^2=r_n^2$，圆 $C_n$ 与 $C_{n+1}$ 外切（$n=1,2,3,\cdots$），$\{r_n\}$ 是各项都是正数的等比数列，记 $S_n$ 为前 $n$ 个圆的面积之和，求 $r_n$，$S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由最小值点设顶点式，用 $f(1)=0$ 定系数。
2. 代入 $x=1$、$x=t+1$ 解出 $a_n,b_n$。
3. 由圆心距与相切关系求公比 $q=t+1$，再求 $r_n$、$S_n$。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=x^2-(t+2)x+t+1$

(2) $a_n=\frac{(t+1{)}^{n+1}-1}{t}$，$b_n=\frac{(t+1)[1-(t+1{)}^n]}{t}$

(3) $r_n=\frac{\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}}{t+2}$，$S_n=\frac{2\pi (t+1{)}^4\left[(t+1{)}^{2n}-1\right]}{t(t+2{)}^3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设 $f(x)=a{\left(x-\frac{t+2}{2}\right)}^2-\frac{t^2}{4}$。由 $f(1)=0$，得 $a{\left(1-\frac{t+2}{2}\right)}^2-\frac{t^2}{4}=0$，即 $a\cdot \frac{t^2}{4}=\frac{t^2}{4}$，得 $a=1$。于是 $f(x)={\left(x-\frac{t+2}{2}\right)}^2-\frac{t^2}{4}=x^2-(t+2)x+t+1$。 (2)$f(x)=(x-1)[x-(t+1)]$，代入已知等式得 $(x-1)[x-(t+1)]g(x)+a_{n}x+b_n=x^{n+1}$。将 $x=1$、$x=t+1$ 分别代入，得 $a_n+b_n=1$，$(t+1)a_n+b_n=(t+1{)}^{n+1}$。由 $t\ne 0$ 解得 $a_n=\frac{(t+1{)}^{n+1}-1}{t}$，$b_n=\frac{(t+1)[1-(t+1{)}^n]}{t}$。 (3)$a_n+b_n=1$，故圆心 $O_n(a_n,b_n)$ 在直线 $x+y=1$ 上，$|O_n{O}_{n+1}|=\sqrt{2}|a_{n+1}-a_n|=\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}$。又圆 $C_n$ 与 $C_{n+1}$ 外切，故 $r_n+r_{n+1}=\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}$。设公比为 $q$，则 $r_n+q{r}_n=\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}$，$r_{n+1}+q{r}_{n+1}=\sqrt{2}(t+1{)}^{n+2}$，两式相除得 $q=t+1$。于是 $r_n=\frac{\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}}{t+2}$。$S_n=\pi (r_1^2+r_2^2+\cdots +r_n^2)=\pi r_1^2\frac{q^{2n}-1}{q^2-1}=\frac{2\pi (t+1{)}^4\left[(t+1{)}^{2n}-1\right]}{t(t+2{)}^3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与圆的递推关系

核心方法：(1) $f(x)=x^2-(t+2)x+t+1$；(2) 代入 $x=1$、$x=t+1$ 解出 $a_n=\frac{(t+1{)}^{n+1}-1}{t}$、$b_n=\frac{(t+1)[1-(t+1{)}^n]}{t}$；(3) $r_n+r_{n+1}=\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}$，$q=t+1$，$r_n=\frac{\sqrt{2}(t+1{)}^{n+1}}{t+2}$，$S_n=\frac{2\pi (t+1{)}^4[(t+1{)}^{2n}-1]}{t(t+2{)}^3}$

避坑指南：待定系数 + 递推求等比公比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列与二次函数

结论推广：一般地，待定系数与递推求公比

方法推广：待定系数 + 递推求等比公比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1997-上海理-22 解-数列的通项与求和
• 1998-上海理-22 解-数列与抛物线的综合
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