1994-上海-24 解-椭圆方程与动点轨迹

本题导读

本题考查椭圆方程与动点轨迹。核心在于由焦点与长短轴比定方程，再用参数法求动点轨迹。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷） 设椭圆的中心为原点 $O$，一个焦点为 $F(0,1)$，长轴和短轴的长度之比为 $t$.

(1)求椭圆的方程；

(2)设经过原点且斜率为 $t$ 的直线与椭圆在 $y$ 轴右边部分的交点为 $Q$，点 $P$ 在该直线上，且 $\left|\frac{OP}{OQ}\right|=t\sqrt{t^2-1}$，当 $t$ 变化时，求点 $P$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由焦点 $(0,1)$ 和长轴/短轴 $=t$ 定 $a,b$。
2. 联立直线与椭圆求 $Q$。
3. 由 $\frac{|OP|}{|OQ|}$ 求 $P$ 坐标，消参得轨迹。

✅【答案】

Success

(1) $t^2(t^2-1)x^2+(t^2-1)y^2=t^2$

(2) 轨迹 $x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}y$（$x>\frac{\sqrt{2}}{2}$）和 $x^2=-\frac{\sqrt{2}}{2}y$（$x<-\frac{\sqrt{2}}{2}$），为抛物线两段

✍【详细解析】

Abstract

(1)设椭圆方程为 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$（$a>b>0$）。由题意得 $\{\begin{array}{l}\sqrt{a^2-b^2}=1\\ \frac{a}{b}=t\end{array}$，解得 $a^2=\frac{t^2}{t^2-1}$、$b^2=\frac{1}{t^2-1}$。故椭圆方程为 $t^2(t^2-1)x^2+(t^2-1)y^2=t^2$。 (2)设点 $P$、$Q$ 的坐标分别为 $(x,y)$ 和 $(x\prime ,y\prime )$。解方程组 $\{\begin{array}{l}{t}^2(t^2-1)x{\prime }^2+(t^2-1)y{\prime }^2=t^2\\ y\prime =tx\prime \end{array}$，得 $x\prime =\frac{1}{\sqrt{2}(t^2-1)}$、$y\prime =\frac{t}{\sqrt{2}(t^2-1)}$。由 $\frac{|OP|}{|OQ|}=t\sqrt{t^2-1}$ 和 $\frac{|OP|}{|OQ|}=\left|\frac{x}{x\prime }\right|$，得 $x=\frac{t}{\sqrt{2}}$、$y=\frac{t^2}{\sqrt{2}}$ 或 $x=-\frac{t}{\sqrt{2}}$、$y=-\frac{t^2}{\sqrt{2}}$。而 $t>1$，故点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}y$（$x>\frac{\sqrt{2}}{2}$）和 $x^2=-\frac{\sqrt{2}}{2}y$（$x<-\frac{\sqrt{2}}{2}$）。轨迹为抛物线 $x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}y$ 在直线 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 右侧的部分，和抛物线 $x^2=-\frac{\sqrt{2}}{2}y$ 在直线 $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 左侧的部分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与动点轨迹

核心方法：(1) 设 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$，由 $\sqrt{a^2-b^2}=1$、$\frac{a}{b}=t$ 得 $a^2=\frac{t^2}{t^2-1}$、$b^2=\frac{1}{t^2-1}$，故 $t^2(t^2-1)x^2+(t^2-1)y^2=t^2$；(2) 联立 $y=tx$ 与椭圆得 $Q$，由 $\frac{|OP|}{|OQ|}=t\sqrt{t^2-1}$ 得 $P$ 轨迹 $x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}y$（$x>\frac{\sqrt{2}}{2}$）和 $x^2=-\frac{\sqrt{2}}{2}y$（$x<-\frac{\sqrt{2}}{2}$），为抛物线两段

避坑指南：焦点定方程 + 参数法求轨迹

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆与轨迹

结论推广：一般地，焦点定方程、参数法求轨迹

方法推广：焦点定方程 + 参数法求轨迹

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-24 解-椭圆内接四边形的面积最值
• 1994-全国卷文-24 解-轨迹方程
• 1996-上海理-07 单-椭圆中心的轨迹