1993-新高考文-23 填-折叠图形中的二面角

本题导读

本题考查折叠图形中的二面角，以及平面角的构造与余弦定理。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 如图，$ABCD$ 是正方形，$E$ 是 $AB$ 的中点，如将 $△DAE$ 和 $△CBE$ 分别沿虚线 $DE$ 和 $CE$ 折起，使 $AE$ 与 $BE$ 重合，记 $A$ 与 $B$ 重合的点为 $P$，则面 $PCD$ 与面 $ECD$ 所成的二面角为 $\underline{}$度.

🔍【思路分析】

破题导航

取 $CD$ 中点 $F$，$PF\perp CD$、$EF\perp CD$，$\cos \angle PFE=\frac{P{F}^2+E{F}^2-P{E}^2}{2PF\cdot EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

Success

$30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设正方形边长 $2$，则 $PE=AE=BE=1$，$DE=CE=\sqrt{5}$，$PD=PC=DA=2$。取 $CD$ 中点 $F$，则 $PF\perp CD$、$EF\perp CD$，$\angle PFE$ 即二面角的平面角。$EF=2$，$PF=\sqrt{P{D}^2-D{F}^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。由余弦定理 $\cos \angle PFE=\frac{P{F}^2+E{F}^2-P{E}^2}{2PF\cdot EF}=\frac{3+4-1}{2\sqrt{3}\cdot 2}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\angle PFE=30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠图形中的二面角

核心方法：取 $CD$ 中点 $F$，$\cos \angle PFE=\frac{P{F}^2+E{F}^2-P{E}^2}{2PF\cdot EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，二面角 $30^{\circ }$

避坑指南：等腰三角形取底边中点作平面角，三边由折叠保长求得

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于折叠与二面角

结论推广：折叠问题中不动线段长度不变，重合点构成等腰三角形

方法推广：取底边中点作平面角，余弦定理算角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-19 填-二面角与异面直线所成角
• 1998-全国卷文-18 填-直四棱柱中的线线垂直
• 2000-大纲文-16 填-正方体面的射影