1993-上海-10 填-截面中的二面角

本题导读

本题考查正方体截面中的二面角，以及用反三角函数表示。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，过顶点 $B,D,C_1$ 作截面，则二面角 $B-D{C}_1-C$ 的大小是 $\underline{}$（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

截面为等边三角形，二面角 $B-D{C}_1-C$ 的平面角余弦为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，故大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

$\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

连接 $BD,B{C}_1,D{C}_1$，截面为 $△BD{C}_1$。在 $△BD{C}_1$ 中，$DB=D{C}_1=B{C}_1=\sqrt{2}$（设棱长 $1$），故 $△BD{C}_1$ 是等边三角形。二面角 $B-D{C}_1-C$ 即平面 $BD{C}_1$ 与平面 $DC{C}_1$ 所成角，其平面角余弦为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，故大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：截面中的二面角

核心方法：过 $B,D,C_1$ 截面，二面角 $B-D{C}_1-C$ 的平面角余弦 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，即 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：正三棱锥截面用射影面积或向量求

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何截面

结论推广：截面二面角用平面角或向量

方法推广：三棱锥截面找垂直关系

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-23 填-折叠图形中的二面角
• 1994-上海-23 解-二面角与点到平面的距离
• 1996-上海文-21 解-二面角与异面直线所成角