1993-新高考文-13 单-两个二项式乘积的指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及两个因式乘积的指定项系数求法。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） ${\left(\sqrt{x}+1\right)}^4(x-1{)}^5$ 展开式中 $x^4$ 的系数为 ()

A. -40　　　　　　B. 10　　　　　　C. 40　　　　　　D. 45

🔍【思路分析】

破题导航

${\left(\sqrt{x}\right)}^k$ 贡献 $\frac{k}{2}$ 次、$(x{)}^j$ 贡献 $j$ 次，令 $\frac{k}{2}+j=4$，$k=0,2,4$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

${\left(\sqrt{x}+1\right)}^4$ 通项 $C_4^k(\sqrt{x}{)}^k=C_4^k{x}^{k/2}$；$(x-1{)}^5$ 通项 $C_5^j{x}^j(-1{)}^{5-j}$。令 $\frac{k}{2}+j=4$，得 $(k,j)=(0,4),(2,3),(4,2)$。系数为 $C_4^0{C}_5^4(-1{)}^1+C_4^2{C}_5^3(-1{)}^2+C_4^4{C}_5^2(-1{)}^3=-5+60-10=45$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两个二项式乘积的指定项系数

核心方法：$x^4$ 需 $\frac{k}{2}+j=4$：$k=0,2,4$ 对应 $-5+60-10=45$

避坑指南：两个因式分别取通项，指数配对求和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理

结论推广：两因式乘积的指定项由指数配对求和

方法推广：分别写通项，联立指数方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-16 填-二项式展开式的系数
• 1998-全国卷文-17 填-二项式展开式的系数
• 2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数