1998-全国卷文-17 填-二项式展开式的系数

本题导读

本题考查二项式展开式中指定次项系数的求法。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） $(x+2{)}^{10}(x^2-1)$ 的展开式中 $x$ 的系数为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x$ 的系数只可能来自 $-1$ 与 $(x+2{)}^{10}$ 的 $x$ 项相乘。
2. 求 $(x+2{)}^{10}$ 中 $x$ 的系数。

✅【答案】

Success

$-5120$

✍【详细解析】

Abstract

展开式中 $x$ 的系数只可能来自 $-1$ 乘以 $(x+2{)}^{10}$ 中的 $x$ 项，因为 $x^2$ 乘以任何项的次数都至少为 $2$。而 $(x+2{)}^{10}$ 中 $x$ 的系数为 $C_{10}^1\cdot 2^9=10\times 512=5120$，所以所求系数为 $-5120$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的系数

核心方法：$x$ 的系数只能来自 $-1$ 乘 $(x+2{)}^{10}$ 的 $x$ 项，即 $-C_{10}^1\cdot 2^9=-5120$

避坑指南：只取一次的项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，指定次数的项只取相应组合

方法推广：只取一次的项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-03 填-二项式展开的指定项系数
• 2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数
• 2003-大纲文-14 填-二项式特定项系数