1993-新高考文-11 单-两圆外切的动圆轨迹

本题导读

本题考查两圆外切的动圆圆心轨迹，以及双曲线的定义。

📌【题干】

Question

（1993年新高考(文)） 一动圆与两圆 $x^2+y^2=1$ 和 $x^2+y^2-8x+12=0$ 都外切，则动圆圆心轨迹为 ()

A. 圆　　　　B. 椭圆　　　　C. 双曲线的一支　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

定圆 $O_1(0,0),r_1=1$ 与 $O_2(4,0),r_2=2$；外切得 $|X{O}_2|-|X{O}_1|=1<4$，双曲线一支。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 圆心 $O_1(0,0)$、半径 $r_1=1$；圆 $x^2+y^2-8x+12=0$ 即 $(x-4{)}^2+y^2=4$，圆心 $O_2(4,0)$、半径 $r_2=2$。设动圆圆心 $X$、半径 $r$，两圆外切得 $|X{O}_1|=r+1$、$|X{O}_2|=r+2$，相减得 $|X{O}_2|-|X{O}_1|=1$。而 $|O_1{O}_2|=4>1$，由双曲线定义知轨迹是双曲线的一支，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两圆外切的动圆轨迹

核心方法：$X{O}_2-X{O}_1=1<4$，轨迹为双曲线的一支

避坑指南：外切条件转半径差，差小于圆心距即双曲线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆锥曲线定义

结论推广：同侧外切两定圆的动圆圆心轨迹是双曲线一支

方法推广：定义法求轨迹的关键是距离差与定点距比较

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆
• 1996-全国卷文-11 单-椭圆的一般方程化标准方程
• 1999-全国卷文-13 单-直线与曲线的交点判定