1999-全国卷文-13 单-直线与曲线的交点判定

本题导读

本题考查直线与曲线的交点判定，以及代入消元后用判别式判断。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 给出下列曲线方程：①$4x+2y-1=0$；②$x^2+y^2=3$；③$\frac{x^2}{2}+y^2=1$；④$\frac{x^2}{2}-y^2=1$.其中与直线 $y=-2x-3$ 有交点的所有曲线方程是()

A. ①③　　　　　　B. ②④　　　　　　C. ①②③　　　　　　D. ②③④

🔍【思路分析】

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1. 将 $y=-2x-3$ 分别代入四个方程。
2. 用判别式（或直接判断）判断是否有交点。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

将直线 $y=-2x-3$ 分别代入四个曲线方程检验交点。对于①，得 $4x+2(-2x-3)-1=-7\ne 0$，没有交点；对于②，代入得 $x^2+(-2x-3{)}^2=3$，即 $5x^2+12x+6=0$，判别式 $12^2-4\cdot 5\cdot 6=24>0$，有交点；对于③，代入得 $\frac{x^2}{2}+(-2x-3{)}^2=1$，即 $9x^2+24x+16=0$，即 $(3x+4{)}^2=0$，有交点；对于④，代入得 $\frac{x^2}{2}-(-2x-3{)}^2=1$，即 $7x^2+24x+20=0$，判别式 $24^2-4\cdot 7\cdot 20=16>0$，有交点。因此有交点的曲线是②③④，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与曲线的交点判定

核心方法：代入 $y=-2x-3$：①得 $-7\ne 0$ 无交点；②判别式 $24>0$；③得 $(3x+4{)}^2=0$；④判别式 $16>0$，故有交点为②③④，选 D

避坑指南：逐个代入用判别式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与曲线的位置关系

结论推广：一般地，代入消元用判别式判交点

方法推广：代入判别式判交点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-20 解-直线与双曲线
• 2004-全国卷I文-22 解-双曲线与直线交点求参
• 2007-江西文-07 单-直线与抛物线交点三角形面积