1993-上海-25 解-等差数列的判定与直线

本题导读

本题考查等差数列的判定与点共线、圆的位置关系。核心在于由前 $n$ 项和反求通项。

📌【题干】

Question

（1993年上海卷） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=na+n(n-1)b$（$n=1,2,\cdots$），$a,b$ 是常数且 $b\ne 0$.

(1)证明 $\{a_n\}$ 是等差数列；

(2)证明以 $\left(a_n,\frac{S_n}{n}-1\right)$ 为坐标的点 $P_n$（$n=1,2,\cdots$）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程；

(3)设 $a=1,b=\frac{1}{2}$，$C$ 是以 $(r,r)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆（$r>0$）.求使得点 $P_1,P_2,P_3$ 都落在圆 $C$ 外时，$r$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_n=S_n-S_{n-1}=a+2(n-1)b$；点 $P_n$ 斜率恒 $\frac{1}{2}$；圆外由距离不等式解 $r$。

✅【答案】

Success

(1)(2)见解析，直线 $x-2y+a-2=0$；(3)$r\in (0,1)\cup \left(1,\frac{5}{2}-\sqrt{2}\right)\cup (4+\sqrt{6},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_1=S_1=a$。当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b$。故 $a_n-a_{n-1}=2b$（$n\ge 2$），$\{a_n\}$ 是首项 $a$、公差 $2b$ 的等差数列。 （2）对 $n\ge 2$，$\frac{\left(\frac{S_n}{n}-1\right)-\left(\frac{S_1}{1}-1\right)}{a_n-a_1}=\frac{a+(n-1)b-a}{a+2(n-1)b-a}=\frac{(n-1)b}{2(n-1)b}=\frac{1}{2}$。故所有 $P_n$ 都在过 $P_1(a,a-1)$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线上，方程为 $y-(a-1)=\frac{1}{2}(x-a)$，即 $x-2y+a-2=0$。 （3）$a=1,b=\frac{1}{2}$ 时，$P_n=\left(n,\frac{n-1}{2}\right)$，即 $P_1(1,0)$、$P_2\left(2,\frac{1}{2}\right)$、$P_3(3,1)$。三点都在圆 $(x-r{)}^2+(y-r{)}^2=r^2$ 外：$(r-1{)}^2+r^2>r^2$，$(r-2{)}^2+(r-\frac{1}{2}{)}^2>r^2$，$(r-3{)}^2+(r-1{)}^2>r^2$，即 $(r-1{)}^2>0$、$r^2-5r+\frac{17}{4}>0$、$r^2-8r+10>0$。解得 $r\ne 1$、$r<\frac{5}{2}-\sqrt{2}$ 或 $r>\frac{5}{2}+\sqrt{2}$、$r<4-\sqrt{6}$ 或 $r>4+\sqrt{6}$。结合 $r>0$ 且 $\frac{5}{2}-\sqrt{2}<4-\sqrt{6}$，得 $r\in (0,1)\cup \left(1,\frac{5}{2}-\sqrt{2}\right)\cup (4+\sqrt{6},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的判定与直线

核心方法：$a_n=a+2(n-1)b$ 等差；点 $P_n$ 在直线 $x-2y+a-2=0$ 上；$r\in (0,1)\cup (1,\frac{5}{2}-\sqrt{2})\cup (4+\sqrt{6},+\infty )$

避坑指南：由 $S_n$ 反求通项，点共线看斜率，圆外由距离不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于数列与解析几何

结论推广：由 $S_n$ 反求通项证等差

方法推广：点共线看斜率，圆外看距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1994-上海-26 解-等比数列与递推数列的最值
• 1993-旧高考文-26 解-数学归纳法证明数列猜想
• 2000-大纲文-18 解-等差数列前n项和与Tn