1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角

本题导读

本题考查三棱锥的体积与二面角的关系，以及沿棱作垂直截面的技巧。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 已知三棱锥 $A-BCD$ 的体积是 $V$，棱 $BC$ 的长是 $a$，面 $ABC$ 和面 $DBC$ 的面积分别是 $S_1$ 和 $S_2$.设面 $ABC$ 和面 $DBC$ 所成的二面角是 $\alpha$，那么 $\sin \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

设两面内垂直于 $BC$ 的高 $h_1=\frac{2S_1}{a}$，$h_2=\frac{2S_2}{a}$，沿 $BC$ 作垂直截面，截面内两高夹角 $\alpha$，$V=\frac{1}{6}a{h}_1{h}_2\sin \alpha =\frac{2S_1{S}_2}{3a}\sin \alpha$，故 $\sin \alpha =\frac{3aV}{2S_1{S}_2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3aV}{2S_1{S}_2}$

✍【详细解析】

Abstract

设面 $ABC$ 内垂直于 $BC$ 的高为 $h_1$，面 $DBC$ 内垂直于 $BC$ 的高为 $h_2$。由三角形面积公式 $h_1=\frac{2S_1}{a}$，$h_2=\frac{2S_2}{a}$。沿棱 $BC$ 作垂直截面，截面内两条高的夹角为 $\alpha$，故三棱锥体积 $V=\frac{1}{6}a{h}_1{h}_2\sin \alpha$。代入得 $V=\frac{2S_1{S}_2}{3a}\sin \alpha$，所以 $\sin \alpha =\frac{3aV}{2S_1{S}_2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的体积与二面角

核心方法：$V=\frac{1}{6}a{h}_1{h}_2\sin \alpha =\frac{2S_1{S}_2}{3a}\sin \alpha$，$\sin \alpha =\frac{3aV}{2S_1{S}_2}$

避坑指南：体积公式反解二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥体积与二面角的关系

结论推广：$V=\frac{1}{6}ab{h}_1{h}_2\sin \alpha$

方法推广：体积反解二面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-上海-10 填-截面中的二面角
• 1993-新高考文-23 填-折叠图形中的二面角
• 1993-上海-24 解-二面角与线面角的综合