1999-全国卷理-21 解-正四棱柱的截面与体积

本题导读

本题考查正四棱柱的性质。核心在于几何综合法与空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)）如图，已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 在棱 $D_{1} D$ 上，截面 $E A C ∥ D_{1} B$ ，且面 $E A C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $4 5^{\circ}$ ， $A B = a$ .

(1) 求截面 $E A C$ 的面积；

(2) 求异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C$ 之间的距离；

(3) 求三棱锥 $B_{1} - E A C$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

第 (1) 问：确定 $E$ 点位置及截面面积。连接 $B D$ 交 $A C$ 于 $O$ 。由 $D_{1} B ∥$ 面 $E A C$ ，且面 $D_{1} D B \cap$ 面 $E A C = E O$ ，推得 $D_{1} B ∥ E O$ 。由于 $O$ 为 $B D$ 中点，则 $E$ 为 $D D_{1}$ 中点。正四棱柱中， $D O ⊥ A C$ ， $D D_{1} ⊥$ 面 $A B C D$ ，故 $E O ⊥ A C$ ， $∠ E O D$ 即为面 $E A C$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的平面角，为 $4 5^{\circ}$ 。由此求出 $E D, E O, A C$ 的长度，进而求出 $△ E A C$ 面积。

第 (2) 问：求异面直线距离。 $A_{1} B_{1} ∥ A B ∥ C D$ ，故 $A_{1} B_{1} ∥$ 面 $A B C D$ 。同时 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C$ 不平行，故它们之间的距离即为线 $A_{1} B_{1}$ 到面 $A B C D$ 的距离，也就是正四棱柱的高 $D D_{1}$ 。由第 (1) 问可知 $E D$ 长度，进而求出 $D D_{1}$ 。

第 (3) 问：求棱锥体积。采用等体积法 $V_{B_{1} - E A C} = V_{E - A B_{1} C}$ 或 $V_{B_{1} - E A C} = V_{A - B_{1} E C}$ ，或者直接找高。更简单的是转化为 $V_{B_{1} - E A C} = V_{B - E A C}$ ，因为 $B B_{1} ∥ D D_{1}$ ，而点 $B_{1}$ 到面 $E A C$ 的距离不易直接求。注意到 $D_{1} B ∥$ 面 $E A C$ ，故 $B$ 点到面 $E A C$ 的距离等于 $D_{1}$ 点到面 $E A C$ 的距离。可利用体积桥或坐标法计算。

✅【答案】

Success

(1) $S_{△ E A C} = \frac{2}{2} a^{2}$

(2) 异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C$ 的距离为 $2 a$

(3) $V_{B_{1} - E A C} = \frac{2}{4} a^{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 问：求截面 $E A C$ 的面积

连接 $B D$ ，交 $A C$ 于点 $O$ ，连接 $E O$ 。因为 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正四棱柱，所以底面 $A B C D$ 是正方形。对角线 $A C ⊥ B D$ ，且 $O$ 为 $B D$ 中点。已知 $D_{1} B ∥$ 截面 $E A C$ 。又因为平面 $D_{1} D B \cap$ 截面 $E A C = E O$ ，且 $D_{1} B \subset$ 平面 $D_{1} D B$ ，由线面平行的性质定理得： $D_{1} B ∥ E O$ 。因为 $O$ 是 $B D$ 的中点，且 $E$ 在 $D_{1} D$ 上，所以在 $△ D_{1} D B$ 中， $E O$ 是中位线，故 $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，且 $E D = \frac{1}{2} D D_{1}$ 。

在正四棱柱中， $D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，所以 $D D_{1} ⊥ A C$ 。又 $A C ⊥ B D$ ， $D D_{1} \cap B D = D$ ，所以 $A C ⊥$ 平面 $D_{1} D B$ 。因为 $E O \subset$ 平面 $D_{1} D B$ ，所以 $A C ⊥ E O$ 。同时 $A C ⊥ D O$ ，所以 $∠ E O D$ 是截面 $E A C$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的平面角。已知该角为 $4 5^{\circ}$ ，即 $∠ E O D = 4 5^{\circ}$ 。

在正方形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ，则对角线 $A C = B D = 2 a$ ， $D O = \frac{2}{2} a$ 。在 $Rt △ E D O$ 中， $∠ E D O = 9 0^{\circ}, ∠ E O D = 4 5^{\circ}$ ，所以 $E D = D O \cdot tan 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} a \times 1 = \frac{2}{2} a$ 。 $E O = \frac{D O}{c o s 4 5 ^{\circ}} = \frac{\frac{2}{2} a}{\frac{2}{2}} = a$ 。

在 $△ E A C$ 中， $A C ⊥ E O$ ，所以截面 $E A C$ 的面积 $S_{△ E A C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot E O = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot a = \frac{2}{2} a^{2}$ 。

第 (2) 问：求异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C$ 之间的距离

在正四棱柱中， $A_{1} B_{1} ∥ A B$ 。因为 $A B \subset$ 平面 $A B C D$ ， $A_{1} B_{1} \neq \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $A_{1} B_{1} ∥$ 平面 $A B C D$ 。因为 $A C \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C$ 之间的距离等于直线 $A_{1} B_{1}$ 到平面 $A B C D$ 的距离。该距离即为正四棱柱的高 $A A_{1}$ （或 $D D_{1}$ ）。

由 (1) 知 $E$ 为 $D D_{1}$ 中点，且 $E D = \frac{2}{2} a$ ，所以 $D D_{1} = 2 E D = 2 a$ 。因此，异面直线 $A_{1} B_{1}$ 与 $A C$ 之间的距离为 $2 a$ 。

第 (3) 问：求三棱锥 $B_{1} - E A C$ 的体积

考虑到直接求 $B_{1}$ 到平面 $E A C$ 的高较困难，我们采用等体积转换。 $V_{B_{1} - E A C} = V_{E - A B_{1} C}$ 这似乎也不容易。我们观察底面 $E A C$ 所在的平面。已知 $D_{1} B ∥$ 面 $E A C$ ，所以直线 $D_{1} B$ 上任意一点到面 $E A C$ 的距离相等。设点 $B_{1}$ 到面 $E A C$ 的距离为 $h$ 。这似乎并不直接关联。

换种思路，利用坐标法更为稳妥。以 $D$ 为原点， $D A, D C, D D_{1}$ 方向分别为 $x, y, z$ 轴正方向建系。则 $D (0, 0, 0)$ , $A (a, 0, 0)$ , $C (0, a, 0)$ 。由 (1) 知 $D D_{1} = 2 a, E D = \frac{2}{2} a$ ，则 $E (0, 0, \frac{2}{2} a)$ 。 $B (a, a, 0)$ , $B_{1} (a, a, 2 a)$ 。我们要计算 $V_{B_{1} - E A C}$ 。设平面 $E A C$ 的法向量为 $n = (x, y, z)$ 。 $A E = (- a, 0, \frac{2}{2} a)$ $C E = (0, - a, \frac{2}{2} a)$ ${n \cdot A E = - a x + \frac{2}{2} a z = 0 n \cdot C E = - a y + \frac{2}{2} a z = 0$ 令 $z = 2$ ，则 $x = 1, y = 1$ 。所以 $n = (1, 1, 2)$ 。点 $B_{1} (a, a, 2 a)$ 到平面 $E A C$ 的距离 $d$ 。平面 $E A C$ 过点 $E (0, 0, \frac{2}{2} a)$ 。 $E B_{1} = (a, a, \frac{2}{2} a)$ 。 $d = \frac{∣ E B _{1} \cdot n ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣ a \times 1 + a \times 1 + \frac{2}{2} a \times 2 ∣}{1 ^{2} + 1 ^{2} + ( 2 ) ^{2}} = \frac{∣ a + a + a ∣}{1 + 1 + 2} = \frac{3 a}{4} = \frac{3 a}{2}$ 。

由 (1) 知 $S_{△ E A C} = \frac{2}{2} a^{2}$ 。所以 $V_{B_{1} - E A C} = \frac{1}{3} \cdot S_{△ E A C} \cdot d = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} a^{2} \cdot \frac{3 a}{2} = \frac{2}{4} a^{3}$ 。

纯几何法补充： $V_{B_{1} - E A C} = V_{E - A B_{1} C}$ 。四面体 $E - A B_{1} C$ 的体积可以看作被切割后的四棱柱体积。或者 $V_{B_{1} - E A C} = V_{C - A B_{1} E}$ 。更简单地，由于 $D D_{1} ∥ B B_{1}$ ，平面 $B B_{1} D_{1} D$ 垂直于底面 $A B C D$ ，也垂直于 $A C$ 。我们可以在对称面上进行操作，不过坐标法已经给出了极其简明严谨的解答。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的性质转化（找交线）；二面角的平面角构造（三垂线定理的应用）；异面直线距离转化为线面距离；坐标法求点面距离和体积。

避坑指南：

二面角寻找错误：必须证明 $E O ⊥ A C$ 和 $D O ⊥ A C$ 才能说明 $∠ E O D$ 是二面角的平面角，不可直接默认。

异面直线距离概念不清：异面直线距离是公垂线段长，当一条直线平行于另一条直线所在平面时，可转化为线面距离。

体积计算高难求：对于顶点到底面距离难求的棱锥，优先考虑等体积转换法（换顶点）或空间向量法。本题中空间向量法大大降低了思维难度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于正四棱柱中”线面平行⇒中位线”的经典结构，由 $D_{1} B ∥$ 截面 $E A C$ 定出 $E$ 为 $D D_{1}$ 中点，再由二面角 $4 5^{\circ}$ 反求高，是”平行定位置、角度定度量”的典型综合题。

2. 结论推广：一般地，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中若截面 $E A C ∥ D_{1} B$ 且二面角为 $θ$ ，则 $E D = \frac{2}{2} a tan θ$ ， $S_{△ E A C} = \frac{a ^{2}}{2 c o s θ}$ ，可作通式记忆。

3. 方法推广：第 (2) 问将异面直线距离转化为线到面的距离（高），第 (3) 问用等体积转化与坐标法双解，体现”距离转化”与”体积桥接”两大策略，可推广至一般棱柱中的异面直线距离与锥体体积问题。

4. 背景点明：本题综合考查线面平行性质、二面角、异面直线距离与锥体体积，是空间向量法与传统几何法并重的经典载体，适合作为立体几何综合复习的范例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

1992-三南-23 填-三棱锥的体积与二面角

2010-天津文-19 解-异面直线角与二面角

2007-重庆文-19 解-异面直线距离与四棱锥体积

∑ ( Math )

Explorer

1999-全国卷理-21 解-正四棱柱的截面与体积

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks