1992-三南-11 单-球冠的面积

本题导读

本题考查球冠的面积，以及弧绕直径旋转生成球冠的几何理解。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 有一条半径是 $2$ 的弧，其度数是 $60^{\circ }$，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是 ()

A. $4(2-\sqrt{3})\pi$　　　　　　　B. $2(2-\sqrt{3}\pi )$　　　　　　　C. $4\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $2\sqrt{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

球冠所在球半径 $R=2$，弧圆心角 $60^{\circ }$，绕经中点直径旋转后球冠极角 $30^{\circ }$，高 $h=R-R\cos 30^{\circ }=2-\sqrt{3}$，面积 $2\pi Rh=4(2-\sqrt{3})\pi$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

球冠所在球面的半径 $R=2$。弧的圆心角为 $60^{\circ }$，绕经过弧中点的直径旋转后，球冠的极角为 $30^{\circ }$，故球冠高 $h=R-R\cos 30^{\circ }=2-\sqrt{3}$。球冠面积 $S=2\pi Rh=2\pi \cdot 2(2-\sqrt{3})=4(2-\sqrt{3})\pi$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球冠的面积

核心方法：球冠高 $h=2-\sqrt{3}$，面积 $2\pi Rh=4(2-\sqrt{3})\pi$

避坑指南：球冠面积公式 $2\pi Rh$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体表面积（球冠）

结论推广：球冠面积 $S=2\pi Rh$

方法推广：旋转生成几何体

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积
• 1992-全国文-05 单-圆柱与球的表面积比
• 1995-全国卷文-04 单-正方体外接球的表面积