1991-上海-27 解-旋转体的体积与最值

本题导读

本题考查旋转体体积的计算与最值问题。核心在于用余弦定理和均值不等式求 $T$ 的最大值。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 如图，在 $△ABC$ 中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，$\angle ACB=\theta$.现将 $△ABC$ 分别以 $BC$、$AC$、$AB$ 所在的直线为轴旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为 $V_1$、$V_2$、$V_3$.求

(1) $T=\frac{V_3}{V_1+V_2}$（用 $a,b,c,\theta$ 表示）；

(2) 若 $\theta$ 为定值，并令 $\frac{a+b}{c}=x$，将 $T$ 表为 $x$ 的函数，写出定义域并求最大值 $u$；

(3) 当 $\theta$ 在 $\left[\frac{\pi }{3},\pi \right)$ 内变化时，求 $u$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 分别求三旋转体体积再作比；(2) 用余弦定理把 $T$ 表为 $x$ 的函数，用均值不等式求最值；(3) 分析 $u$ 关于 $\theta$ 的单调性。

✅【答案】

Success

(1) $T=\frac{ab}{(a+b)c}$；(2)$T=\frac{1}{2(1+\cos \theta )}\left(x-\frac{1}{x}\right)$，定义域 $\left(1,\sqrt{\frac{2}{1-\cos \theta }}\right]$，最大值 $u=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{1-\cos \theta }}$；(3)$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设以 $BC$、$AC$、$AB$ 为底边的高分别为 $h_1=b\sin \theta$、$h_2=a\sin \theta$、$h_3=\frac{ab\sin \theta }{c}$。则 $V_1=\frac{\pi }{3}{h}_1^{2}a=\frac{\pi }{3}a{b}^2{\sin }^2\theta$，$V_2=\frac{\pi }{3}{a}^{2}b{\sin }^2\theta$，$V_3=\frac{\pi }{3}\frac{a^2{b}^2}{c}{\sin }^2\theta$，故 $T=\frac{ab}{(a+b)c}$。（2）由余弦定理 $c^2=(a+b{)}^2-2ab(1+\cos \theta )$，令 $x=\frac{a+b}{c}$，得 $ab=\frac{(x^2-1)c^2}{2(1+\cos \theta )}$，代入得 $T=\frac{1}{2(1+\cos \theta )}\left(x-\frac{1}{x}\right)$。由 $x>1$ 且 $c^2=(a+b{)}^2-2ab(1+\cos \theta )⩾\frac{1-\cos \theta }{2}(a+b{)}^2$，得 $x⩽\sqrt{\frac{2}{1-\cos \theta }}$，定义域 $\left(1,\sqrt{\frac{2}{1-\cos \theta }}\right]$。$T$ 在该区间递增，故 $x=\sqrt{\frac{2}{1-\cos \theta }}$ 时 $u=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{1-\cos \theta }}$。（3）$\theta \in \left[\frac{\pi }{3},\pi \right)$ 时 $\sqrt{1-\cos \theta }$ 递增、$u$ 递减，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 时 $u_{\max }=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体的体积与最值

核心方法：分别求三旋转体体积，用余弦定理与均值不等式求最值。

避坑指南：旋转体体积+最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体体积与均值不等式结合。

结论推广：旋转体体积 V=πr²h/3。

方法推广：余弦定理配合均值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-上海文-18A 填-旋转体的体积
• 1993-新高考文-14 单-直角梯形旋转体的全面积与体积
• 1997-上海文-20B 解-旋转体体积与面积