1991-上海-21 解-积化和差求值

本题导读

本题考查积化和差公式与倍角公式的综合运用。核心在于把条件式化为 $\sin 2x$ 的值。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 已知 $\sin \left(x-\frac{3}{4}\pi \right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{4}$，求 $\cos 4x$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

用积化和差公式把乘积化为和差，求出 $\sin 2x$，再用倍角公式求 $\cos 4x$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由积化和差公式，$\sin \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(2x-\pi \right)+\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[-\sin 2x-1\right]=-\frac{1}{4}$。故 $\sin 2x+1=\frac{1}{2}$，得 $\sin 2x=-\frac{1}{2}$。于是 $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x=1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：积化和差求值

核心方法：用积化和差公式化简条件，再倍角公式求 cos4x。

避坑指南：积化和差+倍角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：积化和差能把乘积化为和差。

结论推广：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α−β)]/2。

方法推广：再配合倍角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1991-三南-01 单-积化和差求值
• 1992-上海-21 解-两角和与反三角函数
• 1992-全国文-24 解-三角恒等变形求值