1991-三南-26 解-根式不等式的求解

本题导读

本题考查含根号不等式的求解，核心在于先定定义域、再按符号分类讨论能否平方。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 解不等式 $\sqrt{5-4x-x^2}⩾x$.

🔍【思路分析】

破题导航

先由根式有意义定定义域，再按 $x$ 与 $0$ 的大小分类讨论是否平方。

✅【答案】

Success

$\left[-5,-1+\frac{\sqrt{14}}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

由根式有意义得 $5-4x-x^2⩾0$，即 $(x+2{)}^2⩽9$，故 $-5⩽x⩽1$。当 $-5⩽x⩽0$ 时左边非负、右边不大于零，恒成立。当 $x>0$ 时两边非负可平方，得 $5-4x-x^2⩾x^2$，即 $2x^2+4x-5⩽0$，两根 $-1-\frac{\sqrt{14}}{2}$、$-1+\frac{\sqrt{14}}{2}$，故 $x>0$ 中的解为 $0<x⩽-1+\frac{\sqrt{14}}{2}$。合并得 $x\in \left[-5,-1+\frac{\sqrt{14}}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式不等式的求解

核心方法：由 5−4x−x²≥0 得 −5≤x≤1；x≤0 时恒成立；x>0 时平方得 2x²+4x−5≤0，解得 0<x≤−1+√14/2，合并得 [−5,−1+√14/2]。

避坑指南：根式不等式平方讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：根式不等式先求定义域，再分类讨论是否平方。

结论推广：两边同号才可平方，注意讨论符号。

方法推广：含根号不等式常结合定义域与分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1992-三南-08 单-含绝对值的根式不等式
• 1996-全国卷文-03 单-三角不等式求取值范围
• 1995-全国卷文-23 解-等比数列前 n 项和的对数不等式证明