1977-上海文-03 解-分式化简与不等式方程

本题导读

本题考查分式化简、一元一次不等式与分式方程。核心在于分式运算先通分，分式方程求解后必须验根。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(文)） (1)化简：$\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2+2ab+b^2}\right)÷\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)$.

(2)解不等式：$\frac{2x-1}{3}>\frac{3x-1}{2}-4$.

(3)解方程：$\frac{4}{x+3}-\frac{1}{x-3}=1-\frac{2x}{x^2-9}$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)被除数、除数分别通分化简后相除；(2)两边同乘 $6$ 去分母；(3)通分后比较分子，解出并舍去 $x=3$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{b-a}{a+b}$(2)$x<5$(3)$x=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在原式有意义的条件下（$a+b\ne 0$，$a^2-b^2\ne 0$，且除数不为零）。被除数 $=\frac{a(a+b)-a^2}{(a+b{)}^2}=\frac{ab}{(a+b{)}^2}$；除数 $=\frac{a(a-b)-a^2}{(a+b)(a-b)}=-\frac{ab}{(a+b)(a-b)}$。因此原式 $=\frac{ab}{(a+b{)}^2}÷\left(-\frac{ab}{(a+b)(a-b)}\right)=\frac{ab}{(a+b{)}^2}\times \left(-\frac{(a+b)(a-b)}{ab}\right)=-\frac{a-b}{a+b}=\frac{b-a}{a+b}$。 (2)两边同乘正数 $6$，得 $2(2x-1)>3(3x-1)-24$，即 $4x-2>9x-27$，移项得 $25>5x$，所以 $x<5$。 (3)定义域要求 $x\ne 3$ 且 $x\ne -3$。左边 $=\frac{4(x-3)-(x+3)}{x^2-9}=\frac{3x-15}{x^2-9}$，右边 $=\frac{x^2-2x-9}{x^2-9}$。比较分子得 $3x-15=x^2-2x-9$，即 $x^2-5x+6=0$，$(x-2)(x-3)=0$，所以 $x=2$ 或 $x=3$。但 $x=3$ 不合定义域，故 $x=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式化简与不等式方程

核心方法：通分化简与验根

避坑指南：分式化简先通分；分式方程比较分子后必须舍增根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：化简与求解

结论推广：(1)$\frac{b-a}{a+b}$；(2)$x<5$；(3)$x=2$

方法推广：分式方程务必验根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-03 解-分式方程
• 1991-三南-26 解-根式不等式的求解