1991-三南-16 单-二项式展开的常数项

本题导读

本题考查二项式展开式中常数项的求法，即通项公式的应用。

📌【题干】

Question

（1991年三南） ${\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 的展开式中常数项是()

A. $-160$　　　　　　　　B. $-20$　　　　　　　　C. $20$　　　　　　　　D. $160$

🔍【思路分析】

破题导航

写通项令 $x$ 的指数为 0，确定 $k$ 后代入计算。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

通项中取 ${\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^k$，该项 $x$ 的幂次为 $x^{(6-k)/2}{x}^{-k/2}=x^{3-k}$。常数项要求 $3-k=0$，即 $k=3$，故常数项为 $C_6^3(\sqrt{x}{)}^3{\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3=20\cdot (-8)=-160$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的常数项

核心方法：通项 C(6,k)(√x)^(6−k)(−2/√x)^k，指数 3−k=0 得 k=3，常数项 C(6,3)(−2)³=−160。

避坑指南：二项式通项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式指定项用通项公式 T(k+1)=C(n,k)a^(n−k)b^k。

结论推广：常数项即 x 的指数为 0 的项。

方法推广：通项公式是二项式定理的核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国文-04 单-二项式展开的常数项
• 1992-上海-02 填-二项式展开指定项系数
• 1995-全国卷文-12 单-二项式展开式的指定项系数