1990-广东文-34 解-等差数列与三角函数综合

本题导读

本题考查等差数列的判定与三角函数的综合。核心在于由前 n 项和证等差数列，并利用三角递推证等比。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和的公式 $S_n=\frac{\pi }{12}(2n^2+n)$.

(1)求证 $\{a_n\}$ 是等差数列，并求出它的首项和公差；

(2)记 $b_n=\sin a_n\cdot \sin a_{n+1}\cdot \sin a_{n+2}$，求证：对任何自然数 $n$，都有 $b_n=\frac{\sqrt{2}}{8}(-1{)}^{n-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）由 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求通项，证公差为常数；（2）求 $b_1$，再证 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=-1$。

✅【答案】

Success

(1)首项 $\frac{\pi }{4}$，公差 $\frac{\pi }{3}$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$a_1=S_1=\frac{\pi }{12}\times 3=\frac{\pi }{4}$。当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{\pi }{12}(2n^2+n)-\frac{\pi }{12}[2(n-1{)}^2+(n-1)]=\frac{\pi }{12}(4n-1)$，该式对 $n=1$ 也成立。又 $a_{n+1}-a_n=\frac{\pi }{12}\cdot 4=\frac{\pi }{3}$，故 $\{a_n\}$ 是首项 $\frac{\pi }{4}$、公差 $\frac{\pi }{3}$ 的等差数列。

（2）由（1）得 $a_n=\frac{\pi }{12}(4n-1)$。因 $4n-1$ 恒为奇数，故 $\sin a_n\ne 0$。$b_1=\sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{7\pi }{12}\sin \frac{11\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi }{3}-\cos \frac{3\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{8}$。又公差为 $\frac{\pi }{3}$，故 $a_{n+3}=a_n+\pi$，$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\sin a_{n+3}}{\sin a_n}=-1$。故 $\{b_n\}$ 是首项 $\frac{\sqrt{2}}{8}$、公比 $-1$ 的等比数列，$b_n=\frac{\sqrt{2}}{8}(-1{)}^{n-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与三角函数综合

核心方法：由前 n 项和证等差数列，用三角函数证等比。

避坑指南：数列与三角综合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列与三角综合。

结论推广：aₙ=π(4n−1)/12。

方法推广：公差π/3

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合
• 1991-三南-28 解-等差等比数列通项综合
• 1991-全国文-24 解-等差与等比数列综合