1990-广东文-28 填-等比数列与数列极限

本题导读

本题考查无穷等比数列求和与极限，以及数列极限的运算。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{3^n}}=$　$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母均为等比数列求和，再求极限。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

分子 $=2-\frac{1}{2^n}\to 2$，分母 $=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3^n}\to \frac{3}{2}$。故极限为 $\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与数列极限

核心方法：分子分母均为等比数列求和，求极限。

避坑指南：数列极限

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列求和后求极限。

结论推广：分子分母等比级数。

方法推广：无穷级数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1991-三南-22 填-数列的极限
• 1991-全国文-12 单-连乘式数列的极限
• 1990-全国文-18 填-等差数列与数列极限