1990-全国文-17 填-多项式展开式的系数

本题导读

本题考查多项式展开式中指定次项系数的求法。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(文)） $(x-1)-(x-1{)}^2+(x-1{)}^3-(x-1{)}^4+(x-1{)}^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

逐项展开求 $x^2$ 的系数并累加。

✅【答案】

Success

$-20$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-1{)}^k$ 展开式中 $x^2$ 的系数为 $C_k^2(-1{)}^{k-2}$。故 $x^2$ 系数 $=0-C_2^2(-1{)}^0+C_3^2(-1{)}^1-C_4^2(-1{)}^2+C_5^2(-1{)}^3=0-1-3-6-10=-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多项式展开式的系数

核心方法：展开多项式求指定次数的系数。

避坑指南：多项式系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多项式系数用展开或代值求。

结论推广：(x−1)^k 展开的 x² 系数。

方法推广：逐项累加

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1991-上海-08 填-二项式展开的常数项
• 1992-全国文-04 单-二项式展开的常数项
• 1991-三南-16 单-二项式展开的常数项