1985-广东理-35 解-五次多项式的极值与实根个数

本题导读

本题考查（附加题）利用导数求五次多项式的极值与判断实根个数。核心在于单调区间与零点个数的联系。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(理)） （附加题，本题满分 10 分，不计入总分）已知函数 $f(x)=x^5-5x+c$，其中 $c$ 是实数.

(1)求 $f(x)$ 的极大值和极小值.

(2)证明方程 $f(x)=0$ 的不同实根的个数不大于 3.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$f^{\prime }(x)=5(x^4-1)$，极值点为 $x=\pm 1$；(2)用反证法。

✅【答案】

Success

(1) 极大值 $f(-1)=c+4$，极小值 $f(1)=c-4$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f^{\prime }(x)=5x^4-5=5(x^4-1)$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\pm 1$。$f(-1)=-1+5+c=c+4$，$f(1)=1-5+c=c-4$。$f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 与 $(1,+\infty )$ 上递增，在 $(-1,1)$ 上递减。故极大值 $f(-1)=c+4$，极小值 $f(1)=c-4$。 (2)反证法。假设 $f(x)=0$ 有 4 个以上不同实根，取其中 4 个 $x_1<x_2<x_3<x_4$，则 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$。由微分中值定理，存在 ${\theta }_1\in (x_1,x_2)$ 使 $f^{\prime }({\theta }_1)=0$，同理存在 ${\theta }_2\in (x_2,x_3)$、${\theta }_3\in (x_3,x_4)$ 使 $f^{\prime }({\theta }_2)=f^{\prime }({\theta }_3)=0$，且 ${\theta }_1<{\theta }_2<{\theta }_3$。即 $f^{\prime }(x)=0$ 至少有三个不同实根，与(1)中 $f^{\prime }(x)=0$ 仅有 $x=\pm 1$ 两个实根矛盾。故实根个数不大于 3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：五次多项式的极值与实根个数

核心方法：求导判断单调区间

避坑指南：极大 $c+4$、极小 $c-4$，配合零点个数反证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：高次多项式的极值与零点

结论推广：奇次多项式必有实根

方法推广：单调区间与零点个数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-21 解-导数单调最值
• 1990-全国文-17 填-多项式展开式的系数