1989-广东文-31 解-等差数列与等比数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的联系。核心在于证明比值 $\frac{f(x_n)}{f(x_{n-1})}$ 为常数。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(文)） 设 $f(x)=a^{x-1}$，其中常数 $a>0$.

(1)如果 $\{x_n\}$ 是等差数列，求证：$\{f(x_n)\}$ 是等比数列；

(2)如果 $a=4$，解方程 $4f(x)+f(-x)-1=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）证 $\frac{f(x_n)}{f(x_{n-1})}=a^d$ 常数；（2）换元 $4^x=y$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$x=-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设等差数列 $\{x_n\}$ 公差为 $d$。因 $a>0$，$f(x_n)=a^{x_n-1}\ne 0$。当 $n\ge 2$ 时，$\frac{f(x_n)}{f(x_{n-1})}=\frac{a^{x_n-1}}{a^{x_{n-1}-1}}=a^{x_n-x_{n-1}}=a^d$。$a^d$ 是不为 0 的常数，故 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列。 （2）$a=4$ 时，$f(x)=4^{x-1}$，方程 $4f(x)+f(-x)-1=0$ 即 $4\cdot 4^{x-1}+4^{-x-1}-1=0$，即 $4^x+4^{-x-1}-1=0$。令 $4^x=y>0$，则 $y+\frac{1}{4y}-1=0$，$4y^2-4y+1=0$，$(2y-1{)}^2=0$，$y=\frac{1}{2}$。故 $4^x=\frac{1}{2}$，$x=-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比数列

核心方法：$f(x)=a^{x-1}$，等差数列 $\{x_n\}$ 得 $\{f(x_n)\}$ 等比。

避坑指南：$\frac{f(x_n)}{f(x_{n-1})}=a^d$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比数列。

结论推广：比值常数。

方法推广：指数函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东文-22 单-等比数列的前n项和
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合
• 1992-三南-14 单-等比数列的运算