1977-内蒙古理-06 解-对数与正弦定理

本题导读

本题考查对数等差数列与正弦定理的综合。核心在于对数等差化为三角积，再用正弦定理化边角关系。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） 已知在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 是三内角 $A,B,C$ 的对边，$\lg \sin A,\lg \sin B,\lg \sin C$ 成等差数列. (1)求证 $\frac{{\sin }^{2}A}{{\sin }^{2}B}=\frac{a}{c}$；

(2)又若方程 $c{x}^2+2cx+a=0$ 有相等两实根，求证 $\sin A=\sin B=\sin C$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)对数等差得 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$，用正弦定理换边；(2)判别式为零得 $c=a$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)因 $\lg \sin A,\lg \sin B,\lg \sin C$ 成等差，$2\lg \sin B=\lg \sin A+\lg \sin C$，得 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$。由正弦定理 $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$，代入得 ${\sin }^{2}B=\sin A\cdot \frac{c\sin A}{a}$，即 $\frac{{\sin }^{2}A}{{\sin }^{2}B}=\frac{a}{c}$。 (2)方程有相等实根，$(2c{)}^2-4ac=0$，即 $4c(c-a)=0$，故 $c=a$（$c=0$ 舍去），$\sin C=\sin A$。由(1)${\sin }^{2}B=\sin A\sin C={\sin }^{2}A$，故 $\sin B=\sin A$，所以 $\sin A=\sin B=\sin C$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数与正弦定理

核心方法：对数等差与正弦定理

避坑指南：对数等差化为三角函数积，正弦定理化边角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理

结论推广：$\sin A=\sin B=\sin C$

方法推广：对数等差与正弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-31 解-等差数列与等比数列
• 2003-上海文-07 填-正余弦定理求角