1977-甘肃-04 解-正弦定理求边

本题导读

本题考查正弦定理求边。核心在于由内角和与差求两角，再用正弦定理与 sin105° 和角展开。

📌【题干】

Question

（1977年甘肃卷） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=30^{\circ }$，$\angle B-\angle C=60^{\circ }$，$BC=2$，求 $AC$（用根式表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

$\angle B+\angle C=150^{\circ }$ 与 $\angle B-\angle C=60^{\circ }$ 得 $\angle B=105^{\circ }$、$\angle C=45^{\circ }$；$AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}$。

✅【答案】

Success

$AC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle B+\angle C=180^{\circ }-\angle A=150^{\circ }$，又 $\angle B-\angle C=60^{\circ }$，所以 $\angle B=105^{\circ }$、$\angle C=45^{\circ }$。由正弦定理 $AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{2\sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=4\sin 105^{\circ }$。又 $\sin 105^{\circ }=\sin (60^{\circ }+45^{\circ })=\sin 60^{\circ }\cos 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，所以 $AC=4\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理求边

核心方法：由内角和与差求两角，正弦定理求边

避坑指南：∠B=105°、∠C=45°，AC=BC·sinB/sinA=√6+√2。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正弦定理，考查已知两角一边求边。

结论推广：正弦定理 a/sinA=b/sinB 可求任意边。

方法推广：先由内角和与差求出 ∠B=105°、∠C=45°，再用 sin105° 的和角展开。

🔗【关联脉络】

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