1977-云南-05 解-正弦定理测距

本题导读

本题考查正弦定理测距。核心在于先算航程 $A_1{A}_2=6$ 浬，再用对角 $35^{\circ }$ 与正弦定理求 $A_{2}S$。

📌【题干】

Question

（1977年云南卷） 一船以 24 浬/小时的速度向正北航行，在 $A_1$ 点望见灯塔 $S$ 在船的北偏东 $30^{\circ }$，15 分钟后在 $A_2$ 点望见灯塔在船的北偏东 $65^{\circ }$，求船在 $A_2$ 点时与灯塔的距离 $A_{2}S$（已知 $\sin 35^{\circ }=0.574$）.

🔍【思路分析】

破题导航

$\angle A_{1}S{A}_2=65^{\circ }-30^{\circ }=35^{\circ }$，$A_1{A}_2=24\times \frac{15}{60}=6$ 浬；由正弦定理 $\frac{A_{2}S}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{\sin 35^{\circ }}$。

✅【答案】

Success

约 $5.23$ 浬

✍【详细解析】

Abstract

在 $△A_1{A}_{2}S$ 中，$\angle A_{1}S{A}_2=65^{\circ }-30^{\circ }=35^{\circ }$，$A_1{A}_2=24\times \frac{15}{60}=6$（浬）。由正弦定理 $\frac{A_{2}S}{\sin \angle A_2{A}_{1}S}=\frac{A_1{A}_2}{\sin \angle A_{1}S{A}_2}$，而 $\angle A_2{A}_{1}S=30^{\circ }$，所以 $A_{2}S=\frac{6\sin 30^{\circ }}{\sin 35^{\circ }}=\frac{6\times \frac{1}{2}}{0.574}\approx 5.23$（浬）。答：船在 $A_2$ 点时与灯塔距离约 5.23 浬。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理测距

核心方法：由速度×时间求边长，用正弦定理求未知边

避坑指南：角度差 65°-30°=35° 是对角；sin35° 题目给定 0.574 直接代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于“解三角形”测量应用题，方位角+正弦定理的典型结合。

结论推广：航海测距类问题可抽象为“已知两角一夹边，求对边”的正弦定理模型。

方法推广：先算航程 A₁A₂=速度×时间，再找对应角是破题第一步。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1977-山东B-10 解-正弦定理航海测距
• 1977-福建文-06 解-正弦定理测量