1988-广东理-22 单-奇函数的解析式

本题导读

本题考查由奇函数的性质求 $x<0$ 时的解析式。

📌【题干】

Question

（1988年广东卷(理)） 设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且当 $x\in [0,+\infty )$ 时，$f(x)=x(1+\sqrt[3]{x})$，那么 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$f(x)=$()

A. $-x(1+\sqrt[3]{x})$　　　　B. $x(1+\sqrt[3]{x})$　　　　C. $-x(1-\sqrt[3]{x})$　　　　D. $x(1-\sqrt[3]{x})$

🔍【思路分析】

破题导航

$x<0$ 时 $-x>0$，$f(x)=-f(-x)=-(-x)(1+\sqrt[3]{-x})=x(1-\sqrt[3]{x})$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x<0$ 时，$-x>0$，故 $f(x)=-f(-x)=-[(-x)(1+\sqrt[3]{-x})]=x(1+\sqrt[3]{-x})=x(1-\sqrt[3]{x})$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的解析式

核心方法：$x<0$ 时 $f(x)=-f(-x)=-(-x)(1+\sqrt[3]{-x})=x(1-\sqrt[3]{x})$。

避坑指南：奇函数 $f(x)=-f(-x)$，注意 $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数解析式。

结论推广：$f(x)=-f(-x)$。

方法推广：立方根符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1989-上海-16 单-奇函数的判断
• 1989-广东理-03 单-幂函数的奇偶性
• 1990-广东理-11 单-反三角函数与奇偶性