1986-广东文-31 填-函数解析式的换元

本题导读

本题考查由复合函数值求解析式。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若 $f\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}-1$，则 $f(x)=$\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=1+\frac{1}{x}$，则 $\frac{1}{x}=t-1$。

✅【答案】

Success

$x^2-2x$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=1+\frac{1}{x}$，则 $\frac{1}{x}=t-1$，$\frac{1}{x^2}=(t-1{)}^2$。故 $f(t)=(t-1{)}^2-1=t^2-2t$。即 $f(x)=x^2-2x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数解析式的换元

核心方法：令 $t=1+\frac{1}{x}$，则 $\frac{1}{x}=t-1$。

避坑指南：$f(t)=(t-1{)}^2-1=t^2-2t$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2006 全国 II 文第 10 题同考换元求解析式。

结论推广：$f(g(x))$ 型令 $t=g(x)$ 反解 $x$。

方法推广：换元后必须注明新元范围（本题 $t\ne 1$ 但约分后化简式无碍）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-10 单-换元法求函数解析式
• 1988-广东理-22 单-奇函数的解析式