1985-广东文-04 填-换元求函数解析式

本题导读

本题考查换元法求函数解析式。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） 如果 $f(\frac{1}{x})=\frac{x}{1-x^2}$，则 $f(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=\frac{1}{x}$，则 $x=\frac{1}{t}$，代入化简。

✅【答案】

Success

$\frac{x}{x^2-1}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\frac{1}{x}$，则 $x=\frac{1}{t}$，$f(t)=\frac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{\frac{1}{t}}{\frac{t^2-1}{t^2}}=\frac{t}{t^2-1}$。故 $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换元求函数解析式

核心方法：换元 $t=\frac{1}{x}$

避坑指南：换元后务必化简并还原自变量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：换元法求解析式的经典题型

结论推广：若 $f(\frac{1}{x})=g(x)$，则 $f(x)=g(\frac{1}{x})$

方法推广：整体代换与变量还原

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-31 填-函数解析式的换元
• 1988-广东理-22 单-奇函数的解析式