1988-全国文-23 解-双曲线上的点与距离

本题导读

本题考查双曲线上满足距离条件的点。核心在于用距离公式与双曲线方程联立。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 在双曲线 $x^2-y^2=1$ 的右支上求点 $P(a,b)$，使该点到直线 $y=x$ 的距离为 $\sqrt{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由距离公式 $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，与 $a^2-b^2=1$ 联立，判断右支。

✅【答案】

Success

$P\left(\frac{5}{4},-\frac{3}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

点到直线 $y=x$ 的距离 $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$|a-b|=2$。 当 $a-b=2$：由 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=1$，得 $a+b=\frac{1}{2}$，$a=\frac{2+1/2}{2}=\frac{5}{4}$，$b=\frac{1/2-2}{2}=-\frac{3}{4}$。此时 $a=\frac{5}{4}>0$，点在右支。 当 $a-b=-2$：$a+b=-\frac{1}{2}$，$a=-\frac{5}{4}<0$，在左支，舍。 故 $P(\frac{5}{4},-\frac{3}{4})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线上的点与距离

核心方法：双曲线右支上点到直线距离 $\sqrt{2}$。

避坑指南：点到直线距离公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与距离。

结论推广：距离公式。

方法推广：右支判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-26 填-双曲线的准线方程
• 1991-三南-29 解-双曲线方程的求法
• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系